Question

Невесомый стержень АВ с двумя малыми грузиками массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 200$ г, расположенными в точках С и В соответственно, шарнирно закреплён в точке А. Груз массой $M = 200$ г подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке.

![](https://imgur.com/placeholder)

Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол $\alpha = 45^{\circ}$, а нить составляет угол с вертикалью, равный $\beta = 15^{\circ}$. Расстояние $AC = b = 25$ см. Определите длину $l$ стержня АВ, пренебрегая трением в шарнире. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз $M$ и стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

---

Accepted Answer

Answer

Дано: $m_1 = 0{,}1$ кг, $m_2 = 0{,}2$ кг, $M = 0{,}2$ кг, $\alpha = 45^{\circ}$, $\beta = 15^{\circ}$, $b = 0{,}25$ м, $g = 10$ м/с².

**Обоснование модели:**
- Стержень невесомый и нерастяжимый, поэтому он передаёт силы без деформации и не вносит собственный момент.
- Нить идеальна (невесома и нерастяжима), блок идеален (без трения), следовательно, натяжение нити одинаково по всей длине и равно весу груза $M$.
- Шарнир без трения позволяет применить условие равновесия моментов относительно точки А.
- Система в равновесии, поэтому сумма моментов всех сил относительно оси вращения равна нулю.

**Анализ сил:**

На груз $M$ действуют: вес $Mg$ (вниз) и натяжение нити $T$ (под углом $\beta$ к вертикали). Из равновесия груза:
$$T = \frac{Mg}{\cos\beta}$$

На стержень АВ действуют:
- Вес груза в точке С: $m_1 g$ (вниз).
- Вес груза в точке В: $m_2 g$ (вниз).
- Натяжение нити в точке В: $T$ (под углом $\beta$ к вертикали).
- Реакция шарнира в точке А.

Моменты вычисляются относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, проходящей через А. Плечи сил:
- Груз в С: расстояние $b \sin\alpha$.
- Груз в В: расстояние $l \sin\alpha$.
- Натяжение нити в В: горизонтальная компонента $T \sin\beta$ на расстояние $l \cos\alpha$ (вертикальное расстояние от А до В).

Уравнение моментов (против часовой стрелки положительно):
$$m_1 g \cdot b \sin\alpha + m_2 g \cdot l \sin\alpha = T \sin\beta \cdot l \cos\alpha$$

Подставим $T = \frac{Mg}{\cos\beta}$:
$$m_1 g \cdot b \sin\alpha + m_2 g \cdot l \sin\alpha = \frac{Mg}{\cos\beta} \sin\beta \cdot l \cos\alpha$$

$$m_1 b \sin\alpha + m_2 l \sin\alpha = Mg 	an\beta \cdot l \cos\alpha$$

Выразим $l$:
$$m_1 b \sin\alpha = l \left( Mg 	an\beta \cos\alpha - m_2 \sin\alpha ight)$$

$$l = \frac{m_1 b \sin\alpha}{Mg 	an\beta \cos\alpha - m_2 \sin\alpha}$$

**Подстановка числовых значений:**

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, $	an 15^{\circ} \approx 0{,}268$.

Числитель:
$$m_1 b \sin\alpha = 0{,}1 	imes 0{,}25 	imes 0{,}707 = 0{,}01768 	ext{ кг·м}$$

Знаменатель:
$$Mg 	an\beta \cos\alpha - m_2 \sin\alpha = 0{,}2 	imes 10 	imes 0{,}268 	imes 0{,}707 - 0{,}2 	imes 0{,}707$$
$$= 0{,}379 - 0{,}141 = 0{,}238 	ext{ кг}$$

$$l = \frac{0{,}01768}{0{,}238} = 0{,}743 	ext{ м} = 74{,}3 	ext{ см}$$

Результат физически разумен: длина стержня больше расстояния АС, что соответствует геометрии задачи.

---

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике