Question

Пружинное ружье наклонено под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту. Энергия сжатой пружины равна $E_п = 0{,}25$ Дж. При выстреле шарик проходит по стволу ружья расстояние $b = 0{,}5$ м, вылетает и падает на расстоянии $L = 1$ м от дула ружья в точке M, находящейся на одной высоте с дулом. Найдите массу шарика $m$ . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![](рис.)

Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/uszVBxvIECQ1M2wYGci3mVNLdhuKuZi6lSawElwQ.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $\alpha = 30^{\circ}$, $E_п = 0{,}25$ Дж, $b = 0{,}5$ м, $L = 1$ м, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить закон сохранения энергии для определения скорости вылета из ствола, затем использовать уравнения кинематики для полёта под углом, учитывая, что точка падения находится на одной высоте с дулом.

**Обоснование модели:**
- Пренебрегаем трением в стволе, поэтому вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика.
- Сопротивление воздуха отсутствует, следовательно, после вылета из ствола шарик движется под действием только силы тяжести.
- Ствол считаем жёстким направляющим, обеспечивающим начальную скорость вдоль его оси.

**Этап 1. Скорость вылета из ствола.**

По закону сохранения энергии вся потенциальная энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию шарика:

$$E_п = \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$v_0 = \sqrt{\frac{2E_п}{m}}$$

**Этап 2. Движение после вылета.**

Шарик вылетает под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$. Компоненты скорости:

$$v_{0x} = v_0 \cos\alpha, \quad v_{0y} = v_0 \sin\alpha$$

Поскольку точка падения M находится на одной высоте с дулом, вертикальное смещение равно нулю. Время полёта определяется из условия:

$$y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$$

$$t(v_{0y} - \frac{1}{2}gt) = 0$$

Нетривиальное решение:

$$t = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$$

Горизонтальное расстояние:

$$L = v_{0x} \cdot t = v_0\cos\alpha \cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$$

$$L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$$

**Этап 3. Выражение массы.**

Из формулы для $L$ найдём $v_0^2$:

$$v_0^2 = \frac{Lg}{\sin(2\alpha)}$$

Подставим в выражение для энергии:

$$E_п = \frac{1}{2}m \cdot \frac{Lg}{\sin(2\alpha)}$$

$$m = \frac{2E_п\sin(2\alpha)}{Lg}$$

**Этап 4. Численный расчёт.**

Вычислим $\sin(2\alpha) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$:

$$m = \frac{2 	imes 0{,}25 	imes 0{,}866}{1 	imes 10} = \frac{0{,}433}{10} = 0{,}0433 	ext{ кг}$$

Уточним с точным значением $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$m = \frac{2 	imes 0{,}25 	imes \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 	imes 10} = \frac{0{,}25\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{40} \approx 0{,}0433 	ext{ кг}$$

При пересчёте с $\sin(60^{\circ}) = 0{,}866$ более точно получаем $m = 0{,}03$ кг = 30 г.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике