Question

В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем массой $M$ и площадью основания $S$ находится одноатомный идеальный газ. Первоначально поршень покоится на высоте $h$ , опираясь на выступы внутри цилиндра (рис. а). Давление газа равно атмосферному $p_0$ . После сообщения газу количества теплоты $Q$ происходит медленное расширение, и нижняя сторона поршня поднимается на высоту $H$ (рис. б). Найти площадь основания поршня $S$ . Тепловыми потерями пренебречь.

![](рис. а и б — цилиндр с поршнем на выступах и после расширения)

Рисунок

![](рис. а и б — цилиндр с поршнем на выступах и после расширения)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/JH93rKTbzqYbM2uCe5pKD9NGHGa8cC1Q2tTnFEBb.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: одноатомный идеальный газ, начальное давление $p_0$, начальная высота $h$, конечная высота $H$, масса поршня $M$, сообщённая теплота $Q$.

Идея решения: процесс состоит из двух этапов — изохорного нагрева (пока поршень на выступах) и изобарного расширения (после отрыва поршня); применим первое начало термодинамики к каждому этапу.

**Этап 1: изохорный процесс (поршень на выступах)**

Пока поршень опирается на выступы, объём газа не меняется. Давление растёт от $p_0$ до некоторого значения $p_1$, при котором поршень отрывается от выступов.

Условие отрыва поршня: сила давления газа преодолевает вес и атмосферное давление:

$$p_1 \cdot S = p_0 \cdot S + Mg$$

$$p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}$$

Объём на этом этапе: $V_1 = S \cdot h$.

Для одноатомного газа $C_V = \frac{3}{2}R$ на один моль. Изменение внутренней энергии:

$$\Delta U_1 = 
u C_V (T_1 - T_0) = \frac{3}{2}
u R(T_1 - T_0)$$

Используя уравнение состояния: $p_0 V_1 = 
u R T_0$ и $p_1 V_1 = 
u R T_1$, получаем:

$$\Delta U_1 = \frac{3}{2}(p_1 V_1 - p_0 V_1) = \frac{3}{2}V_1(p_1 - p_0) = \frac{3}{2}Sh \cdot \frac{Mg}{S} = \frac{3}{2}Mgh$$

На изохорном процессе работа газа $A_1 = 0$, поэтому:

$$Q_1 = \Delta U_1 = \frac{3}{2}Mgh$$

**Этап 2: изобарный процесс (поршень поднимается)**

После отрыва поршень движется медленно (квазистатически) при постоянном давлении $p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}$.

Начальный объём: $V_1 = Sh$, конечный объём: $V_2 = SH$.

Работа газа:

$$A_2 = p_1(V_2 - V_1) = \left(p_0 + \frac{Mg}{S}ight) \cdot S(H - h) = p_0 S(H - h) + Mg(H - h)$$

Изменение внутренней энергии (для одноатомного газа):

$$\Delta U_2 = \frac{3}{2}
u R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(p_1 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2}p_1(V_2 - V_1)$$

$$\Delta U_2 = \frac{3}{2}\left(p_0 + \frac{Mg}{S}ight) \cdot S(H - h) = \frac{3}{2}p_0 S(H - h) + \frac{3}{2}Mg(H - h)$$

По первому началу термодинамики:

$$Q_2 = \Delta U_2 + A_2 = \frac{3}{2}p_0 S(H - h) + \frac{3}{2}Mg(H - h) + p_0 S(H - h) + Mg(H - h)$$

$$Q_2 = \frac{5}{2}p_0 S(H - h) + \frac{5}{2}Mg(H - h)$$

**Полная теплота:**

$$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{3}{2}Mgh + \frac{5}{2}p_0 S(H - h) + \frac{5}{2}Mg(H - h)$$

$$Q = \frac{3}{2}Mgh + \frac{5}{2}Mg(H - h) + \frac{5}{2}p_0 S(H - h)$$

$$Q = Mg\left(\frac{3}{2}h + \frac{5}{2}(H - h)ight) + \frac{5}{2}p_0 S(H - h)$$

Выражаем площадь $S$:

$$\frac{5}{2}p_0 S(H - h) = Q - Mg\left(\frac{3}{2}h + \frac{5}{2}(H - h)ight)$$

$$S = \frac{Q - Mg\left(\frac{3}{5}h + \frac{5}{2}(H - h)ight)}{\frac{5}{2}p_0(H - h)}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике