Question

В однородном электрическом поле с напряжённостью $E = 18$ В/м находятся два точечных заряда: $Q = -1$ нКл и $q = +5$ нКл с массами $M = 5$ г и $m = 10$ г соответственно. На каком расстоянии $d$ друг от друга находятся заряды, если их ускорения совпадают по величине и направлению? Сделайте рисунок с указанием всех сил, действующих на заряды. Силой тяжести пренебречь.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/qYQ0C3A1LUmfDQ7xg4saGxMIChWyOqLKdvCPfdWS.png)

Accepted Answer

Answer

Дано: $E = 18$ В/м, $Q = -1 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q = 5 \cdot 10^{-9}$ Кл, $M = 5 \cdot 10^{-3}$ кг, $m = 10 \cdot 10^{-3}$ кг, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

Идея решения: применить второй закон Ньютона к каждому заряду, учитывая силы от однородного поля и кулоновское взаимодействие между ними, затем использовать условие равенства ускорений.

**Схема сил:**

На заряд $q$ (положительный) действуют:
- сила от однородного поля: $F_1 = qE$ (в направлении поля);
- сила Кулона от заряда $Q$: $F = \dfrac{k|q||Q|}{d^2}$ (притяжение, против поля).

На заряд $Q$ (отрицательный) действуют:
- сила от однородного поля: $F_2 = |Q|E$ (против направления поля);
- сила Кулона от заряда $q$: $F = \dfrac{k|q||Q|}{d^2}$ (притяжение, в направлении поля).

**Уравнения движения** (ось $x$ направлена по полю):

Для заряда $q$:
$$ma = qE - F$$

Для заряда $Q$:
$$Ma = -|Q|E + F$$

По условию ускорения равны, поэтому:
$$\frac{qE - F}{m} = \frac{F - |Q|E}{M}$$

Перекрёстное умножение:
$$M(qE - F) = m(F - |Q|E)$$

$$MqE - MF = mF - m|Q|E$$

$$MqE + m|Q|E = mF + MF$$

$$E(Mq + m|Q|) = F(m + M)$$

Подставляя $F = \dfrac{k|q||Q|}{d^2}$:

$$E(Mq + m|Q|) = \frac{k|q||Q|}{d^2}(m + M)$$

$$d^2 = \frac{k|q||Q|(m + M)}{E(Mq + m|Q|)}$$

$$d = \sqrt{\frac{k|q||Q|(m + M)}{E(Mq + m|Q|)}}$$

**Подстановка значений:**

$$d = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 1 \cdot 10^{-9} \cdot (10 \cdot 10^{-3} + 5 \cdot 10^{-3})}{18 \cdot (5 \cdot 10^{-3} \cdot 5 \cdot 10^{-9} + 10 \cdot 10^{-3} \cdot 1 \cdot 10^{-9})}}$$

$$d = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 1 \cdot 10^{-9} \cdot 15 \cdot 10^{-3}}{18 \cdot (25 \cdot 10^{-12} + 10 \cdot 10^{-12})}}$$

$$d = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 10^{-12}}{18 \cdot 35 \cdot 10^{-12}}}$$

$$d = \sqrt{\frac{675}{630}} = \sqrt{\frac{15}{14}} \approx \sqrt{1{,}071} \approx 1 	ext{ м}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/o2XsY9vEGYHeMCrrGxElWffoXfaUQJugz6xyeugX.webp)

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике