Question

Небольшое тело массой $M = 0{,}99$ кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом $R$. В тело попадает пуля массой $m = 0{,}01$ кг, летящая горизонтально со скоростью $v_0 = 200$ м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите радиус полусферы $R$, если известно, что высота, на которой это тело оторвётся от поверхности полусферы, составила $h = 1$ м. Высота отсчитывается от основания полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Accepted Answer

Answer

Дано: $M = 0{,}99$ кг, $m = 0{,}01$ кг, $v_0 = 200$ м/с, $h = 1$ м, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить закон сохранения импульса при неупругом ударе, затем закон сохранения энергии для движения по полусфере и условие отрыва тела от поверхности.

**Обоснование модели:**
- Удар пули о тело считаем абсолютно неупругим (пуля застревает), поэтому применим закон сохранения импульса в направлении удара.
- Смещением тела во время удара пренебрегаем, значит, удар происходит в точке вершины полусферы.
- Полусфера гладкая (трение отсутствует), поэтому применим закон сохранения механической энергии после удара.
- Воздухом пренебрегаем, система консервативна.

**Шаг 1. Скорость тела сразу после удара.**

По закону сохранения импульса в горизонтальном направлении:

$$mv_0 = (m + M)v_1$$

$$v_1 = \frac{mv_0}{m + M} = \frac{0{,}01 \cdot 200}{0{,}01 + 0{,}99} = \frac{2}{1} = 2 	ext{ м/с}$$

**Шаг 2. Условие отрыва от поверхности.**

Тело движется по полусфере. На высоте $h$ от основания оно находится на расстоянии $y = R - h$ от центра полусферы (по вертикали). Радиальное расстояние от центра:

$$r = \sqrt{R^2 - (R - h)^2} = \sqrt{2Rh - h^2}$$

В момент отрыва нормальная сила $N = 0$. Центростремительное ускорение обеспечивается только компонентой силы тяжести:

$$\frac{(m + M)v^2}{r} = (m + M)g\cos	heta$$

где $\cos	heta = \frac{R - h}{R}$ — косинус угла между радиусом и вертикалью.

Упрощая:

$$v^2 = gR\cos	heta = g(R - h)$$

**Шаг 3. Закон сохранения энергии.**

От вершины полусферы (высота $R$) до точки отрыва (высота $h$):

$$\frac{1}{2}(m + M)v_1^2 + (m + M)gR = \frac{1}{2}(m + M)v^2 + (m + M)gh$$

$$v_1^2 + 2gR = v^2 + 2gh$$

$$v^2 = v_1^2 + 2g(R - h)$$

**Шаг 4. Решение системы.**

Из условия отрыва: $v^2 = g(R - h)$.

Из энергии: $v^2 = v_1^2 + 2g(R - h)$.

Приравниваем:

$$g(R - h) = v_1^2 + 2g(R - h)$$

$$-g(R - h) = v_1^2$$

Это даёт отрицательный результат. Пересмотрим: условие отрыва при движении по внешней поверхности полусферы (тело скользит снаружи):

$$\frac{v^2}{r} = g\cos	heta$$

где $r = R$ (радиус кривизны), $\cos	heta = \frac{R - h}{R}$:

$$v^2 = gR \cdot \frac{R - h}{R} = g(R - h)$$

Из энергии:

$$v_1^2 = v^2 - 2g(R - h) = g(R - h) - 2g(R - h) = -g(R - h)$$

Ошибка в знаке. Переформулируем: энергия от вершины ($z = R$) к точке отрыва ($z = h$):

$$\frac{1}{2}v_1^2 + gR = \frac{1}{2}v^2 + gh$$

$$v^2 = v_1^2 + 2g(R - h)$$

Условие отрыва: $v^2 = g(R - h)$.

$$g(R - h) = v_1^2 + 2g(R - h)$$

$$-g(R - h) = v_1^2$$

Это невозможно. Значит, тело движется по внутренней поверхности полусферы (вогнутой). Тогда:

$$N + (m + M)g\cos	heta = \frac{(m + M)v^2}{R}$$

При отрыве $N = 0$:

$$v^2 = gR\cos	heta = gR \cdot \frac{R - h}{R} = g(R - h)$$

Энергия (от вершины вниз на глубину $R - h$):

$$\frac{1}{2}v_1^2 = \frac{1}{2}v^2 - g(R - h)$$

$$v^2 = v_1^2 + 2g(R - h)$$

Подставляем условие отрыва:

$$g(R - h) = v_1^2 + 2g(R - h)$$

$$-g(R - h) = v_1^2$$

Противоречие. Пересчитаем энергию правильно: тело спускается с вершины ($h_0 = R$) на высоту $h$, теряя потенциальную энергию:

$$\frac{1}{2}(m + M)v_1^2 + (m + M)gR = \frac{1}{2}(m + M)v^2 + (m + M)gh$$

$$v_1^2 + 2gR = v^2 + 2gh$$

$$v^2 = v_1^2 + 2g(R - h)$$

Условие отрыва (внутренняя поверхность, центр выше):

$$v^2 = g(R - h)$$

Тогда:

$$g(R - h) = v_1^2 + 2g(R - h)$$

$$-g(R - h) = v_1^2$$

Это означает, что модель неверна. Переформулируем: тело отрывается, когда нормальная сила становится нулевой. Для движения по выпуклой поверхности (снаружи полусферы):

$$mg\cos	heta - N = \frac{mv^2}{R}$$

При $N = 0$:

$$v^2 = gR\cos	heta$$

На высоте $h$ от основания: $\cos	heta = \frac{h}{R}$ (угол от горизонтали).

$$v^2 = gR \cdot \frac{h}{R} = gh$$

Энергия от вершины ($z = R$) к высоте $h$:

$$\frac{1}{2}v_1^2 + gR = \frac{1}{2}v^2 + gh$$

$$v^2 = v_1^2 + 2g(R - h)$$

Приравниваем:

$$gh = v_1^2 + 2g(R - h)$$

$$gh = 4 + 2 \cdot 10 \cdot (R - 1)$$

$$10 = 4 + 20R - 20$$

$$10 = 20R - 16$$

$$26 = 20R$$

$$R = 1{,}3 	ext{ м}$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике