Question

К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень массой $M = 2$ кг и длиной $L = 40$ см. Если к этому стержню подвесить груз на расстоянии $d = 5$ см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, а растяжения обеих пружин будут одинаковы. Жёсткость левой пружины в 3 раза меньше, чем у правой. Чему равна масса $m$ подвешенного груза? Сделайте рисунок с указанием сил, использованных в решении задачи. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $M = 2$ кг, $L = 0{,}4$ м, $d = 0{,}05$ м, $k_1 = k_2/3$ (где $k_1$ — жёсткость левой пружины, $k_2$ — правой).

Идея решения: применить условия равновесия стержня (равенство нулю суммы сил и моментов) и использовать связь между растяжениями пружин через их жёсткости.

**Обоснование модели:**
- Стержень считаем абсолютно жёстким и однородным; его деформацией пренебрегаем.
- Пружины идеальны (подчиняются закону Гука), нить нерастяжима.
- Система находится в статическом равновесии; ускорения отсутствуют.
- Применимы второй закон Ньютона (в форме условий равновесия) и закон Гука.

**Рисунок с силами:**

```
        ↓ F₁ = k₁Δx        ↓ F₂ = k₂Δx
        |                   |
    ════════════════════════════════════ (стержень)
    ↑ Mg/2              ↑ Mg/2  (вес стержня распределён)
                              ↓ mg (груз на расстоянии d от правой пружины)
```

$$F_1 + F_2 = Mg + mg$$

где $F_1 = k_1 \Delta x$ и $F_2 = k_2 \Delta x$ — силы упругости пружин.

По условию растяжения одинаковы: $\Delta x_1 = \Delta x_2 = \Delta x$.

$$k_1 \Delta x + k_2 \Delta x = (M + m)g$$

$$(k_1 + k_2) \Delta x = (M + m)g \quad (1)$$

Выберем ось вращения в точке крепления левой пружины. Моменты сил, направленные против часовой стрелки, положительны$$F_2 \cdot L = Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d)$$

Подставим $F_2 = k_2 \Delta x$:

$$k_2 \Delta x \cdot L = Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d) \quad (2)$$

**Связь жёсткостей:**

$$k_1 = \frac{k_2}{3}$$

Из уравнения (1):

$$\left(\frac{k_2}{3} + k_2ight) \Delta x = (M + m)g$$

$$\frac{4k_2}{3} \Delta x = (M + m)g$$

$$k_2 \Delta x = \frac{3(M + m)g}{4} \quad (3)$$

Подставим (3) в (2):

$$\frac{3(M + m)g}{4} \cdot L = Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d)$$

Разделим на $g$ и упростим:

$$\frac{3(M + m)L}{4} = \frac{ML}{2} + m(L - d)$$

$$\frac{3ML + 3mL}{4} = \frac{ML}{2} + mL - md$$

$$\frac{3ML}{4} + \frac{3mL}{4} = \frac{2ML}{4} + mL - md$$

$$\frac{3ML}{4} - \frac{2ML}{4} + \frac{3mL}{4} - mL = -md$$

$$\frac{ML}{4} + \frac{3mL - 4mL}{4} = -md$$

$$\frac{ML}{4} - \frac{mL}{4} = -md$$

$$\frac{(M - m)L}{4} = -md$$

$$(M - m)L = -4md$$

$$ML - mL = -4md$$

$$ML = mL - 4md$$

$$ML = m(L - 4d)$$

$$m = \frac{ML}{L - 4d}$$

**Подстановка чисел:**

$$m = \frac{2 	imes 0{,}4}{0{,}4 - 4 	imes 0{,}05} = \frac{0{,}8}{0{,}4 - 0{,}2} = \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4 	ext{ кг}$$

**Проверка адекватности:** масса груза (4 кг) больше массы стержня (2 кг), что физически разумно, так как груз подвешен близко к правой пружине, создавая значительный момент.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике