Question

Ион с зарядом $q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}$ Кл и массой $m = 1{,}5 \cdot 10^{-25}$ кг проходит ускоряющую разность потенциалов $U = 10^3$ В и затем попадает в однородное магнитное поле с индукцией $B = 0{,}2$ Тл, в котором движется по окружности. Определите радиус окружности, по которой ион движется в магнитном поле. Установка находится в вакууме. Силой тяжести и начальной скоростью иона пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: $q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}$ Кл, $m = 1{,}5 \cdot 10^{-25}$ кг, $U = 10^3$ В, $B = 0{,}2$ Тл.

Идея решения: найти скорость иона после ускорения через разность потенциалов, затем применить условие равенства центростремительной силы и силы Лоренца.

**Шаг 1. Скорость после ускорения.**

При прохождении ускоряющей разности потенциалов кинетическая энергия иона равна работе электрического поля:

$$\frac{mv^2}{2} = qU$$

$$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

**Шаг 2. Движение в магнитном поле.**

В магнитном поле на ион действует сила Лоренца, перпендикулярная скорости. Эта сила обеспечивает центростремительное ускорение:

$$qvB = \frac{mv^2}{R}$$

$$R = \frac{mv}{qB}$$

**Шаг 3. Подстановка выражения для скорости.**

$$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{m}{qB} \cdot \frac{\sqrt{2qUm}}{m} = \frac{\sqrt{2mU}}{B\sqrt{q}}$$

Упростим:

$$R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$$

**Шаг 4. Численный расчёт.**

$$R = \frac{1}{0{,}2} \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-25} \cdot 10^3}{3{,}2 \cdot 10^{-19}}}$$

$$R = 5 \sqrt{\frac{3 \cdot 10^{-22}}{3{,}2 \cdot 10^{-19}}} = 5 \sqrt{\frac{3}{3{,}2} \cdot 10^{-3}}$$

$$R = 5 \sqrt{0{,}9375 \cdot 10^{-3}} = 5 \sqrt{9{,}375 \cdot 10^{-4}}$$

$$R = 5 \cdot 3{,}06 \cdot 10^{-2} = 0{,}153 	ext{ м} = 15{,}3 	ext{ см}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике