Question

На рисунке приведены зависимости координат $x$ двух грузов 1 и 2 от времени $t$ в процессе их малых колебаний на гладкой горизонтальной плоскости. Грузы имеют одинаковую массу $m$ и прикреплены к пружинам жёсткостью $k_1$ (груз 1) и жёсткостью $k_2$ (груз 2). Колебания груза 1 обозначены сплошной линией, груза 2 — пунктиром.

Выберите все верные утверждения о движении грузов:

1) Максимальные потенциальные энергии деформированных пружин одинаковы.
2) Максимальная кинетическая энергия груза 1 в четыре раза больше, чем максимальная кинетическая энергия груза 2.
3) Амплитуды колебаний грузов одинаковы.
4) Периоды колебаний грузов одинаковы.
5) Жёсткость пружины $k_1$ меньше жёсткости пружины $k_2$.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

24

Answer

Идея решения: из графика определить амплитуды и периоды колебаний, затем проверить каждое утверждение, используя формулы энергии и периода пружинного маятника.

**Анализ графика:**

По графику видно, что период колебаний обоих грузов одинаков: $T_1 = T_2 = 4$ с. Амплитуда груза 1 составляет $A_1 = 2$ см, амплитуда груза 2 — $A_2 = 1$ см. Таким образом, амплитуды отличаются в два раза: $A_1 = 2A_2$.

1) Максимальная потенциальная энергия пружины определяется формулой:

$$E_{п\,\max} = \frac{kA^2}{2}$$

Для груза 1: $E_{п1\,\max} = \frac{k_1 A_1^2}{2}$

Для груза 2: $E_{п2\,\max} = \frac{k_2 A_2^2}{2}$

Поскольку амплитуды различны ($A_1 = 2A_2$), а жёсткости пока неизвестны, энергии не обязательно равны. **Неверно.**

2) По закону сохранения энергии максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии:

$$E_{к\,\max} = E_{п\,\max} = \frac{kA^2}{2}$$

Для груза 1: $E_{к1\,\max} = \frac{k_1 A_1^2}{2}$

Для груза 2: $E_{к2\,\max} = \frac{k_2 A_2^2}{2}$

Так как периоды одинаковы, из формулы периода пружинного маятника:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

следует, что $k_1 = k_2 = k$. Тогда:

$$\frac{E_{к1\,\max}}{E_{к2\,\max}} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{(2A_2)^2}{A_2^2} = 4$$

**Верно.**

3) Из графика амплитуды отличаются в два раза: $A_1 = 2A_2$. **Неверно.**

4) Из графика оба груза совершают полное колебание за 4 с, следовательно, $T_1 = T_2 = 4$ с. **Верно.**

5) Из формулы периода пружинного маятника при одинаковых периодах и массах:

$$T_1 = T_2 \Rightarrow 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} \Rightarrow k_1 = k_2$$

Жёсткости равны, поэтому утверждение неверно. **Неверно.**

Задание №5Колебания и волныЕГЭ по физике