Question

Система состоит из груза массой $m$, расположенного в точке А на вершине закреплённой сферы, и груза массой $M$, соединённых лёгкой нерастяжимой нитью, проходящей через верхнюю точку сферы. Система начинает движение из состояния покоя. Груз $m$ скользит по поверхности сферы и отрывается от неё после прохождения дуги $30^{\circ}$. Найдите массу $M$, если $m = 100$ г. Размеры груза $m$ пренебрежимо малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы. Обоснуйте применимость используемых законов.

![](https://imgur.com/placeholder_sphere_system.png)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 100$ г $= 0{,}1$ кг, угол отрыва $	heta = 30^{\circ}$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить законы сохранения энергии и второй закон Ньютона для системы двух грузов, учитывая условие отрыва груза $m$ от сферы (нормальная сила обращается в нуль).

**Обоснование модели:**
- Нить нерастяжима и лёгка, поэтому натяжение одинаково по всей длине и передаёт ускорение обоим грузам.
- Трением пренебрегаем, энергия сохраняется.
- Груз $m$ движется по окружности радиуса $R$ (радиус сферы); в момент отрыва нормальная реакция $N = 0$.
- Груз $M$ движется вертикально вниз с тем же ускорением по величине, что и линейное ускорение груза $m$ вдоль сферы.

**Схема сил:**

На груз $m$ (в момент угла $	heta$ от вершины):
- вес $mg$ (вниз);
- нормальная реакция $N$ (к центру сферы);
- натяжение нити $T$ (вдоль нити, к верхней точке).

На груз $M$:
- вес $Mg$ (вниз);
- натяжение нити $T$ (вверх).

**Уравнение энергии:**

Когда груз $m$ прошёл дугу $	heta$, он опустился на высоту $h_m = R(1 - \cos	heta)$, а груз $M$ поднялся на ту же высоту $h_M = R(1 - \cos	heta)$ (из-за нерастяжимости нити).

По закону сохранения энергии:

$$mg \cdot R(1 - \cos	heta) = Mg \cdot R(1 - \cos	heta) + \frac{1}{2}(m + M)v^2$$

где $v$ — скорость обоих грузов в момент отрыва.

Упростив:

$$(m - M)gR(1 - \cos	heta) = \frac{1}{2}(m + M)v^2$$

$$v^2 = \frac{2(m - M)gR(1 - \cos	heta)}{m + M}$$

В момент отрыва $N = 0$. Для груза $m$ радиальное уравнение (центростремительное ускорение направлено к центру):

$$mg\cos	heta - T = m\frac{v^2}{R}$$

Для груза $M$ (движется вверх с ускорением $a = v^2/R$ по величине):

$$T - Mg = M\frac{v^2}{R}$$

Сложив оба уравнения:

$$mg\cos	heta - Mg = (m + M)\frac{v^2}{R}$$

$$v^2 = \frac{gR(m\cos	heta - M)}{m + M}$$

**Приравнивание выражений для $v^2$:**

$$\frac{2(m - M)gR(1 - \cos	heta)}{m + M} = \frac{gR(m\cos	heta - M)}{m + M}$$

$$2(m - M)(1 - \cos	heta) = m\cos	heta - M$$

$$2m(1 - \cos	heta) - 2M(1 - \cos	heta) = m\cos	heta - M$$

$$2m - 2m\cos	heta - 2M + 2M\cos	heta = m\cos	heta - M$$

$$2m - 2M + 2M\cos	heta = m\cos	heta + 2m\cos	heta - M$$

$$2m - 2M + M = m\cos	heta + 2m\cos	heta - 2M\cos	heta$$

$$2m - M = \cos	heta(m + 2m - 2M)$$

$$2m - M = \cos	heta(3m - 2M)$$

$$2m - M = 3m\cos	heta - 2M\cos	heta$$

$$2m - 3m\cos	heta = M - 2M\cos	heta$$

$$m(2 - 3\cos	heta) = M(1 - 2\cos	heta)$$

$$M = \frac{m(2 - 3\cos	heta)}{1 - 2\cos	heta}$$

**Подстановка $	heta = 30^{\circ}$:**

$$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$$

$$M = \frac{0{,}1 \cdot (2 - 3 \cdot 0{,}866)}{1 - 2 \cdot 0{,}866} = \frac{0{,}1 \cdot (2 - 2{,}598)}{1 - 1{,}732}$$

$$M = \frac{0{,}1 \cdot (-0{,}598)}{-0{,}732} = \frac{0{,}0598}{0{,}732} \approx 0{,}0817 	ext{ кг}$$

Или в граммах: $M \approx 81{,}7$ г $\approx 82$ г.

Проверка размерности: $\frac{	ext{кг} \cdot 	ext{(безразмерно)}}{	ext{(безразмерно)}} = 	ext{кг}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике