Question

Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Сила гравитационного притяжения первой планеты к звезде в 4 раза больше, чем для второй. Найти отношение $\frac{R_1}{R_2}$ радиусов орбит первой и второй планет.

Accepted Answer

0,5

Answer

Идея решения: выразить радиусы орбит через силы гравитационного притяжения и использовать условие на отношение сил.

Сила гравитационного притяжения планеты массой $m$ к звезде массой $M$ на расстоянии $R$ определяется законом всемирного тяготения:

$$F = \frac{GMm}{R^2}$$

Отсюда радиус орбиты выражается как:

$$R = \sqrt{\frac{GMm}{F}}$$

Для первой планеты:

$$R_1 = \sqrt{\frac{GMm}{F_1}}$$

Для второй планеты:

$$R_2 = \sqrt{\frac{GMm}{F_2}}$$

По условию задачи $F_1 = 4F_2$. Найдём отношение радиусов:

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt{\frac{GMm}{F_1}}}{\sqrt{\frac{GMm}{F_2}}} = \sqrt{\frac{F_2}{F_1}}$$

Подставляя $F_1 = 4F_2$:

$$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{F_2}{4F_2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

Задание №2Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике