Question

На диаграмме $p$–$V$ изображён процесс с 1 молем гелия. Известны: минимальное давление $p_1 = 100$ кПа, минимальный объём $V_1 = 10$ л, максимальный объём $V_2 = 30$ л. Найти работу, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 2.

![](диаграмма p-V)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/GvXxFyRGA6FLuPtIAGdrNiSvRHHzh3SU7BIfMLz8.jpg)

Accepted Answer

4 кДж

Answer

Дано: $
u = 1$ моль, $p_1 = 100$ кПа $= 10^5$ Па, $V_1 = 10$ л $= 0{,}01$ м³, $V_2 = 30$ л $= 0{,}03$ м³.

Идея решения: процесс 1→2 на диаграмме — линейный переход; работа газа равна площади под кривой в координатах $p$–$V$.

Из графика видно, что состояние 1 находится при давлении $p_1$ и объёме $V_1$, а состояние 2 — при давлении $p_2$ и объёме $V_2$. Поскольку процесс линейный, найдём $p_2$ из условия, что оба состояния подчиняются уравнению состояния идеального газа.

Для состояния 1:
$$p_1 V_1 = 
u R T_1$$

Для состояния 2:
$$p_2 V_2 = 
u R T_2$$

По графику видно, что $p_2 > p_1$. Из геометрии диаграммы процесс 1→2 линеен. Работа газа при линейном процессе:

$$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$$

Для линейного процесса $p = p_1 + k(V - V_1)$, где $k$ — угловой коэффициент. Работа равна площади трапеции:

$$A = \frac{(p_1 + p_2)(V_2 - V_1)}{2}$$

Найдём $p_2$. Из уравнения состояния для состояния 1:
$$T_1 = \frac{p_1 V_1}{
u R} = \frac{10^5 \cdot 0{,}01}{1 \cdot 8{,}314} \approx 120{,}2 	ext{ К}$$

Из графика процесс линейный в координатах $p$–$V$. Для линейного процесса $pV = 	ext{const}$ не выполняется. Используя два состояния и линейность:

$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_2}{V_1} \quad 	ext{(для линейного процесса вида } p \propto V	ext{)}$$

$$p_2 = p_1 \cdot \frac{V_2}{V_1} = 10^5 \cdot \frac{30}{10} = 3 \cdot 10^5 	ext{ Па}$$

Работа газа:
$$A = \frac{(p_1 + p_2)(V_2 - V_1)}{2} = \frac{(10^5 + 3 \cdot 10^5)(0{,}03 - 0{,}01)}{2}$$

$$A = \frac{4 \cdot 10^5 \cdot 0{,}02}{2} = \frac{8000}{2} = 4000 	ext{ Дж} = 4 	ext{ кДж}$$

Задание №23Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике