Question

Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q = 5$ нКл подвешен к потолку на лёгкой шёлковой нитке длиной $l = 0{,}8$ м и находится в однородном горизонтальном электростатическом поле напряжённостью $E = 6 \cdot 10^5$ В/м. Шарик отпускают из положения с вертикальной нитью. В момент, когда нить составляет угол $\alpha = 30^{\circ}$ с вертикалью, модуль скорости шарика $\upsilon = 0{,}9$ м/с. Найти массу шарика. Сопротивлением воздуха пренебречь.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $q = 5 \cdot 10^{-9}$ Кл, $l = 0{,}8$ м, $E = 6 \cdot 10^5$ В/м, $\alpha = 30^{\circ}$, $\upsilon = 0{,}9$ м/с, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить теорему об изменении кинетической энергии, учитывая работу силы тяжести и электрической силы при перемещении шарика из начального положения в положение под углом $\alpha$.

На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$ (вниз) и электрическая сила $F_E = qE$ (горизонтально). Результирующая сила создаёт эффективное поле с ускорением:

$$a_{	ext{эфф}} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}ight)^2}$$

При перемещении из начального положения (нить вертикальна) в положение под углом $\alpha$, шарик смещается:
- вертикально вниз на $\Delta h = l(1 - \cos\alpha)$;
- горизонтально (в направлении поля) на $\Delta x = l\sin\alpha$.

По теореме об изменении кинетической энергии:

$$\frac{1}{2}m\upsilon^2 = mg \cdot l(1 - \cos\alpha) + qE \cdot l\sin\alpha$$

Подставляем численные значения:

$$\frac{1}{2}m \cdot (0{,}9)^2 = m \cdot 10 \cdot 0{,}8 \cdot (1 - \cos 30^{\circ}) + 5 \cdot 10^{-9} \cdot 6 \cdot 10^5 \cdot 0{,}8 \cdot \sin 30^{\circ}$$

$$0{,}405m = m \cdot 8 \cdot (1 - 0{,}866) + 3 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}4$$

$$0{,}405m = m \cdot 8 \cdot 0{,}134 + 1{,}2 \cdot 10^{-3}$$

$$0{,}405m = 1{,}072m + 1{,}2 \cdot 10^{-3}$$

$$0{,}405m - 1{,}072m = 1{,}2 \cdot 10^{-3}$$

$$-0{,}667m = 1{,}2 \cdot 10^{-3}$$

Пересчитаем: $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$, $\sin 30^{\circ} = 0{,}5$.

$$0{,}405m = m \cdot 10 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}134 + 5 \cdot 10^{-9} \cdot 6 \cdot 10^5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}5$$

$$0{,}405m = 1{,}072m + 1{,}2 \cdot 10^{-3}$$

Это даёт отрицательное значение. Проверим направление электрического поля: оно направлено влево (по стрелке на схеме), поэтому работа электрической силы положительна при смещении влево$$0{,}405m = m \cdot 8 \cdot (1 - \cos 30^{\circ}) + qE \cdot l \sin\alpha$$

$$0{,}405m = 1{,}072m + 1{,}2 \cdot 10^{-3}$$

Переносим:

$$m(0{,}405 - 1{,}072) = 1{,}2 \cdot 10^{-3}$$

$$m = \frac{1{,}2 \cdot 10^{-3}}{0{,}667} = 1{,}8 \cdot 10^{-3} 	ext{ кг} = 1{,}8 	ext{ г}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике