Question

Заряженный конденсатор $C_1 = 1$ мкФ включён в последовательную цепь из резистора $R = 300$ Ом, незаряженного конденсатора $C_2 = 2$ мкФ и разомкнутого ключа К (см. рис.). После замыкания ключа в цепи выделяется количество теплоты $Q = 30$ мДж. Чему равно первоначальное напряжение на конденсаторе $C_1$ ?

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $C_1 = 1$ мкФ $= 10^{-6}$ Ф, $C_2 = 2$ мкФ $= 2 \cdot 10^{-6}$ Ф, $R = 300$ Ом, $Q = 30$ мДж $= 0{,}03$ Дж.

Идея решения: применить законы сохранения заряда и энергии для системы двух конденсаторов, соединённых через резистор.

**Начальное состояние:** конденсатор $C_1$ заряжен до напряжения $U$, конденсатор $C_2$ не заряжен.

Начальный заряд на $C_1$:

$$q_0 = C_1 U$$

**После замыкания ключа** ток течёт через резистор до тех пор, пока напряжения на обоих конденсаторах не выравняются. В установившемся состоянии ток прекращается, и напряжение на резисторе становится нулевым.

По закону сохранения заряда:

$$q_1 + q_2 = C_1 U$$

где $q_1$ и $q_2$ — заряды на конденсаторах в конечном состоянии.

Условие равенства напряжений:

$$\frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2}$$

Отсюда:

$$q_2 = \frac{C_2}{C_1} q_1$$

Подставляя в уравнение сохранения заряда:

$$q_1 + \frac{C_2}{C_1} q_1 = C_1 U$$

$$q_1 \left(1 + \frac{C_2}{C_1}ight) = C_1 U$$

$$q_1 = \frac{C_1^2 U}{C_1 + C_2}$$

$$q_2 = \frac{C_1 C_2 U}{C_1 + C_2}$$

**Применим закон сохранения энергии.** Выделившаяся теплота равна разности начальной и конечной энергий конденсаторов:

$$Q = \frac{C_1 U^2}{2} - \left(\frac{q_1^2}{2C_1} + \frac{q_2^2}{2C_2}ight)$$

Подставим выражения для $q_1$ и $q_2$:

$$Q = \frac{C_1 U^2}{2} - \left(\frac{1}{2C_1} \cdot \frac{C_1^4 U^2}{(C_1 + C_2)^2} + \frac{1}{2C_2} \cdot \frac{C_1^2 C_2^2 U^2}{(C_1 + C_2)^2}ight)$$

$$Q = \frac{C_1 U^2}{2} - \frac{C_1^3 U^2 + C_1^2 C_2 U^2}{2(C_1 + C_2)^2}$$

$$Q = \frac{C_1 U^2}{2} - \frac{C_1^2 U^2(C_1 + C_2)}{2(C_1 + C_2)^2}$$

$$Q = \frac{C_1 U^2}{2} - \frac{C_1^2 U^2}{2(C_1 + C_2)}$$

$$Q = \frac{C_1 U^2(C_1 + C_2) - C_1^2 U^2}{2(C_1 + C_2)}$$

$$Q = \frac{C_1 C_2 U^2}{2(C_1 + C_2)}$$

Выразим $U$:

$$U = \sqrt{\frac{2Q(C_1 + C_2)}{C_1 C_2}}$$

Подставим числовые значения:

$$U = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}03 \cdot (10^{-6} + 2 \cdot 10^{-6})}{10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}}$$

$$U = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}03 \cdot 3 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-12}}}$$

$$U = \sqrt{\frac{0{,}18 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-12}}} = \sqrt{\frac{0{,}18}{2} \cdot 10^{6}} = \sqrt{0{,}09 \cdot 10^{6}} = 0{,}3 \cdot 10^{3} = 300 	ext{ В}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике