Question

Два теплоизолированных сосуда с объёмами $V_1 = 1{,}5V$ и $V_2 = V$ соединены трубкой с вентилем. Вентиль закрыт. В первом сосуде находится разреженный гелий в количестве $
u_1$ молей при температуре $T_1$, во втором — разреженный аргон в количестве $
u_2 = 3
u_1$ молей при температуре $T_2 = 3T_1$. Найти давление в сосудах после открытия вентиля. Объёмом трубки пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: $V_1 = 1{,}5V$, $V_2 = V$, $
u_2 = 3
u_1$, $T_2 = 3T_1$, система теплоизолирована.

Идея решения: применить уравнение состояния идеального газа и закон сохранения энергии для определения конечного давления и температуры после смешивания газов.

**Начальные давления:**

Для гелия в первом сосуде:
$$p_1 = \frac{
u_1 RT_1}{V_1} = \frac{
u_1 RT_1}{1{,}5V}$$

Для аргона во втором сосуде:
$$p_2 = \frac{
u_2 RT_2}{V_2} = \frac{3
u_1 R \cdot 3T_1}{V} = \frac{9
u_1 RT_1}{V}$$

**Закон сохранения энергии:**

Система теплоизолирована, поэтому внутренняя энергия сохраняется:
$$U_{	ext{нач}} = U_{	ext{кон}}$$

Для одноатомного газа $U = \frac{3}{2}
u RT$. Начальная энергия:
$$U_{	ext{нач}} = \frac{3}{2}
u_1 RT_1 + \frac{3}{2} \cdot 3
u_1 R \cdot 3T_1 = \frac{3}{2}
u_1 RT_1 + \frac{27}{2}
u_1 RT_1 = 15
u_1 RT_1$$

После смешивания общее количество вещества $
u = 
u_1 + 3
u_1 = 4
u_1$, общий объём $V_{	ext{общ}} = 1{,}5V + V = 2{,}5V$, конечная температура $T$:
$$U_{	ext{кон}} = \frac{3}{2} \cdot 4
u_1 RT = 6
u_1 RT$$

Из сохранения энергии:
$$15
u_1 RT_1 = 6
u_1 RT$$

$$T = \frac{15T_1}{6} = \frac{5T_1}{2}$$

**Конечное давление:**

Применяя уравнение состояния к смешанной системе:
$$p = \frac{
u RT}{V_{	ext{общ}}} = \frac{4
u_1 R \cdot \frac{5T_1}{2}}{2{,}5V} = \frac{10
u_1 RT_1}{2{,}5V} = \frac{4
u_1 RT_1}{V}$$

Выразим через начальное давление в первом сосуде:
$$p = \frac{4
u_1 RT_1}{V} = \frac{4 \cdot 1{,}5V}{V} \cdot \frac{
u_1 RT_1}{1{,}5V} = 4p_1$$

Или через начальное давление во втором сосуде:
$$p = \frac{4
u_1 RT_1}{V} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9
u_1 RT_1}{V} = \frac{4}{9}p_2$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике