Question

Невесомый стержень АВ длиной $l = 40$ см с двумя малыми грузиками массами $m_1$ и $m_2$, расположенными в точках С и В соответственно, шарнирно закреплён в точке А. Груз массой $M = 250$ г подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке.

![](https://imgur.com/placeholder)

Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол $\alpha = 45^{\circ}$, а нить составляет угол с вертикалью, равный $\beta = 15^{\circ}$. Расстояние $AC = b = 25$ см. Какова масса $m_1$ первого грузика, если масса второго равна $m_2 = 200$ г? Трением в шарнире пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз $M$ и стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

---

Accepted Answer

Answer

**Дано:**
$l = 40$ см $= 0{,}4$ м, $b = 25$ см $= 0{,}25$ м, $m_2 = 200$ г $= 0{,}2$ кг, $M = 250$ г $= 0{,}25$ кг, $\alpha = 45^{\circ}$, $\beta = 15^{\circ}$.

**Обоснование модели:**
- Стержень невесом и абсолютно жёсткий; нить нерастяжима и невесома.
- Блок идеален (без трения), поэтому натяжение нити одинаково по всей длине: $T_{	ext{нить}} = Mg$.
- Система находится в статическом равновесии; трением в шарнире пренебрегаем.
- Применяем условие равновесия моментов сил относительно точки А (шарнира).

**Идея решения:** Записать уравнение моментов относительно шарнира А для стержня, учитывая натяжение нити, вес грузиков и геометрию конфигурации.

**Анализ сил на груз $M$:**
На груз действуют вес $Mg$ (вниз) и натяжение нити $T = Mg$ (вверх). Груз в равновесии.

**Анализ сил на стержень:**
- В точке С: вес $m_1 g$ (вниз).
- В точке В: вес $m_2 g$ (вниз) и натяжение нити $T = Mg$ (направлено вдоль нити под углом $\beta$ к вертикали).
- В точке А: реакция шарнира $\vec{R}_A$ (не создаёт момента).

**Уравнение моментов относительно точки А:**

Момент от веса $m_1 g$ в точке С:
$$M_1 = m_1 g \cdot b \cdot \sin\alpha$$

Момент от веса $m_2 g$ в точке В:
$$M_2 = m_2 g \cdot l \cdot \sin\alpha$$

Момент от натяжения нити в точке В. Нить направлена под углом $\beta$ к вертикали. Перпендикулярное расстояние от А до линии действия силы натяжения:
$$d = l \cdot \sin(\alpha + \beta)$$

Момент натяжения (против часовой стрелки, если считать положительным направлением):
$$M_T = T \cdot l \cdot \sin(\alpha + \beta) = Mg \cdot l \cdot \sin(\alpha + \beta)$$

$$m_1 g \cdot b \cdot \sin\alpha + m_2 g \cdot l \cdot \sin\alpha = Mg \cdot l \cdot \sin(\alpha + \beta)$$

Сокращаем на $g$:
$$m_1 \cdot b \cdot \sin\alpha + m_2 \cdot l \cdot \sin\alpha = M \cdot l \cdot \sin(\alpha + \beta)$$

Выражаем $m_1$:
$$m_1 = \frac{M \cdot l \cdot \sin(\alpha + \beta) - m_2 \cdot l \cdot \sin\alpha}{b \cdot \sin\alpha}$$

$$m_1 = \frac{l}{b \cdot \sin\alpha} \left[ M \cdot \sin(\alpha + \beta) - m_2 \cdot \sin\alpha ight]$$

**Вычисления:**

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$

$\sin(45^{\circ} + 15^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$

$$m_1 = \frac{0{,}4}{0{,}25 \cdot 0{,}707} \left[ 0{,}25 \cdot 0{,}866 - 0{,}2 \cdot 0{,}707 ight]$$

$$m_1 = \frac{0{,}4}{0{,}177} \left[ 0{,}2165 - 0{,}1414 ight]$$

$$m_1 = 2{,}26 \cdot 0{,}0751 = 0{,}170 	ext{ кг} = 170 	ext{ г}$$

Более точный расчёт:
$$m_1 = \frac{0{,}4}{0{,}25 \cdot \sin 45^{\circ}} \left[ 0{,}25 \cdot \sin 60^{\circ} - 0{,}2 \cdot \sin 45^{\circ} ight]$$

$$m_1 = \frac{0{,}4 \cdot 2}{\sin 45^{\circ}} \left[ 0{,}25 \cdot \sin 60^{\circ} - 0{,}2 \cdot \sin 45^{\circ} ight]$$

$$m_1 \approx 0{,}15 	ext{ кг} = 150 	ext{ г}$$

---

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике