Question

Две планеты обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Модули сил притяжения планет к звезде одинаковы. У первой планеты радиус орбиты в шесть раз больше, чем у второй. Каково отношение $\frac{m_1}{m_2}$ массы первой планеты к массе второй планеты?

Accepted Answer

36

Answer

Идея решения: применить закон всемирного тяготения к обеим планетам и использовать условие равенства сил притяжения.

Для первой планеты сила гравитационного притяжения к звезде:

$$F_1 = \frac{GMm_1}{R_1^2}$$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса звезды, $m_1$ — масса первой планеты, $R_1$ — радиус её орбиты.

Для второй планеты:

$$F_2 = \frac{GMm_2}{R_2^2}$$

где $m_2$ — масса второй планеты, $R_2$ — радиус её орбиты.

По условию $R_1 = 6R_2$. Подставим в выражение для $F_1$:

$$F_1 = \frac{GMm_1}{(6R_2)^2} = \frac{GMm_1}{36R_2^2}$$

По условию задачи силы равны: $F_1 = F_2$.

$$\frac{GMm_1}{36R_2^2} = \frac{GMm_2}{R_2^2}$$

Сократим на $\frac{GM}{R_2^2}$:

$$\frac{m_1}{36} = m_2$$

Следовательно:

$$\frac{m_1}{m_2} = 36$$

Задание №2Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике