Question

В комнате при температуре $20^{\circ}	ext{С}$ относительная влажность воздуха составляет $40\%$. При умеренной физической нагрузке через лёгкие человека проходит $15$ л воздуха за $1$ мин. Выдыхаемый воздух имеет температуру $34^{\circ}	ext{С}$ и относительную влажность $100\%$. Давление насыщенного водяного пара при $20^{\circ}	ext{С}$ равно $2{,}34$ кПа, а при $34^{\circ}	ext{С}$ — $5{,}32$ кПа. Какую массу воды теряет тело человека за $1$ ч за счёт дыхания? Считать, что объём выдыхаемого воздуха равен объёму, который проходит через лёгкие человека. Влажность воздуха в комнате считать неизменной.

Accepted Answer

Answer

Дано: $t_1 = 20^{\circ}	ext{С}$, $\varphi_1 = 40\% = 0{,}4$, $t_2 = 34^{\circ}	ext{С}$, $\varphi_2 = 100\% = 1$, $p_{н1} = 2{,}34$ кПа, $p_{н2} = 5{,}32$ кПа, объёмный расход $15$ л/мин, время $	au = 1$ ч.

Идея решения: найти парциальное давление водяного пара во вдыхаемом и выдыхаемом воздухе, применить уравнение Менделеева–Клапейрона для определения массы пара в единице объёма, затем вычислить общую потерю воды за час.

Водяной пар в воздухе описывается уравнением Менделеева–Клапейрона:

$$pV = \frac{m}{M}RT$$

где $p$ — парциальное давление пара, $m$ — масса пара, $M$ — молярная масса воды, $T$ — абсолютная температура.

Переведём температуры в кельвины:

$$T_1 = 20 + 273 = 293 	ext{ К}, \quad T_2 = 34 + 273 = 307 	ext{ К}$$

Парциальное давление водяного пара определяется через относительную влажность:

$$p_1 = \varphi_1 \cdot p_{н1} = 0{,}4 \cdot 2{,}34 \cdot 10^3 = 936 	ext{ Па}$$

$$p_2 = \varphi_2 \cdot p_{н2} = 1 \cdot 5{,}32 \cdot 10^3 = 5320 	ext{ Па}$$

Из уравнения состояния масса водяного пара в объёме $V$ при комнатной температуре:

$$m_1 = M\frac{p_1 V}{RT_1}$$

а в выдыхаемом воздухе при температуре $T_2$:

$$m_2 = M\frac{p_2 V}{RT_2}$$

Масса испарённой воды в объёме $V$:

$$\Delta m = m_2 - m_1 = \frac{MV}{R}\left(\frac{p_2}{T_2} - \frac{p_1}{T_1}ight)$$

За $1$ ч через лёгкие проходит объём:

$$V_{	ext{общ}} = 15 	ext{ л/мин} 	imes 60 	ext{ мин} = 900 	ext{ л} = 0{,}9 	ext{ м}^3$$

Подставим численные значения ($M = 18 	imes 10^{-3}$ кг/моль, $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К)):

$$m = \frac{18 	imes 10^{-3} 	imes 0{,}9}{8{,}31}\left(\frac{5320}{307} - \frac{936}{293}ight)$$

Вычислим дроби:

$$\frac{5320}{307} \approx 17{,}33 	ext{ Па/К}, \quad \frac{936}{293} \approx 3{,}19 	ext{ Па/К}$$

$$\frac{5320}{307} - \frac{936}{293} \approx 17{,}33 - 3{,}19 = 14{,}14 	ext{ Па/К}$$

$$m = \frac{0{,}0162}{8{,}31} 	imes 14{,}14 \approx 0{,}00195 	imes 14{,}14 \approx 0{,}0276 	ext{ кг} = 27{,}6 	ext{ г}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике