Question

В закрытом сосуде при температуре $100^{\circ}	ext{С}$ находится влажный воздух с относительной влажностью $70\%$ под давлением $100$ кПа. Объём сосуда изотермически уменьшили в $3$ раза. До какой абсолютной температуры надо вместо этого нагреть воздух без изменения объёма сосуса, чтобы получить такое же конечное давление? Объёмом сконденсировавшейся воды пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: $T_0 = 100^{\circ}	ext{С} = 373$ К, $\varphi_0 = 70\% = 0{,}7$, $p_0 = 100$ кПа, $V_1 = V_0/3$ (изотермический процесс), $V_2 = V_0$ (изохорный процесс).

Идея решения: найти давление насыщенного пара при начальной температуре, определить парциальное давление водяного пара, затем применить закон идеального газа для обоих процессов и приравнять конечные давления.

**Шаг 1. Начальное состояние.**

При $T_0 = 373$ К давление насыщенного пара воды составляет $p_{нас} \approx 101{,}3$ кПа.

Парциальное давление водяного пара:

$$p_{в,0} = \varphi_0 \cdot p_{нас} = 0{,}7 \cdot 101{,}3 = 70{,}91 	ext{ кПа}$$

Парциальное давление сухого воздуха:

$$p_{в,0}^{сух} = p_0 - p_{в,0} = 100 - 70{,}91 = 29{,}09 	ext{ кПа}$$

**Шаг 2. Изотермический процесс (сжатие в 3 раза при $T = 373$ К).**

При изотермическом сжатии давление водяного пара возрастает. Однако при достижении давления насыщения начинается конденсация. Поскольку объём уменьшается в 3 раза, давление водяного пара стремилось бы возрасти до $3 \cdot 70{,}91 = 212{,}73$ кПа, но это превышает $p_{нас} = 101{,}3$ кПа. Следовательно, происходит конденсация, и давление водяного пара остаётся равным $p_{нас} = 101{,}3$ кПа.

Давление сухого воздуха при сжатии в 3 раза:

$$p_{в,1}^{сух} = 3 \cdot p_{в,0}^{сух} = 3 \cdot 29{,}09 = 87{,}27 	ext{ кПа}$$

Полное давление после изотермического сжатия:

$$p_1 = p_{в,1}^{сух} + p_{нас} = 87{,}27 + 101{,}3 = 188{,}57 	ext{ кПа}$$

**Шаг 3. Изохорный процесс (нагревание при постоянном объёме $V_0$).**

При нагревании без изменения объёма давление сухого воздуха растёт пропорционально температуре. Вода полностью испаряется, и давление водяного пара также возрастает.

Для сухого воздуха (количество вещества не меняется):

$$\frac{p_{в,0}^{сух}}{T_0} = \frac{p_{в,2}^{сух}}{T_2}$$

$$p_{в,2}^{сух} = p_{в,0}^{сух} \cdot \frac{T_2}{T_0} = 29{,}09 \cdot \frac{T_2}{373}$$

Для водяного пара (вся вода испаряется):

$$\frac{p_{в,0}}{T_0} = \frac{p_{в,2}}{T_2}$$

$$p_{в,2} = p_{в,0} \cdot \frac{T_2}{T_0} = 70{,}91 \cdot \frac{T_2}{373}$$

Полное давление:

$$p_2 = p_{в,2}^{сух} + p_{в,2} = \left(29{,}09 + 70{,}91ight) \cdot \frac{T_2}{373} = 100 \cdot \frac{T_2}{373}$$

**Шаг 4. Приравнивание конечных давлений.**

По условию $p_2 = p_1$:

$$100 \cdot \frac{T_2}{373} = 188{,}57$$

$$T_2 = \frac{188{,}57 \cdot 373}{100} = 703{,}6 	ext{ К}$$

Округляя: $T_2 \approx 704$ К или $431^{\circ}	ext{С}$.

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике