Question

Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q = 5$ нКл подвешен к потолку на лёгкой шёлковой нитке длиной $l = 0{,}8$ м и находится в горизонтальном однородном электростатическом поле напряжённостью $E = 6 \cdot 10^5$ В/м (см. рис.). Шарик отпускают из положения, когда нить вертикальна, с нулевой начальной скоростью. В момент, когда нить образует угол $\alpha = 30^{\circ}$ с вертикалью, модуль скорости шарика составляет $v = 0{,}9$ м/с. Найдите массу шарика. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/25DxqTwaWIf47RQULd7xBRyKIuZc8QSwrZ0OrDol.png)

Accepted Answer

Answer

Дано: $q = 5 \cdot 10^{-9}$ Кл, $l = 0{,}8$ м, $E = 6 \cdot 10^5$ В/м, $\alpha = 30^{\circ}$, $v = 0{,}9$ м/с, $v_0 = 0$.

Идея решения: применить теорему об изменении кинетической энергии, учитывая работу консервативных сил (тяжести и электрического поля) и нулевую работу натяжения нити.

На шарик действуют три силы: вес $m\vec{g}$ (вертикально вниз), электрическая сила $q\vec{E}$ (горизонтально) и натяжение нити $\vec{T}$ (вдоль нити).

По теореме об изменении кинетической энергии:

$$\Delta E_к = A_{	ext{всех сил}}$$

Натяжение нити всегда перпендикулярно скорости, поэтому его работа равна нулю. Работу сил тяжести и электрического поля найдём, выбрав вспомогательный путь: сначала вертикальное смещение на $h$, затем горизонтальное на $b$.

Горизонтальное смещение шарика:

$$b = l\sin\alpha$$

Работа электрической силы:

$$A_э = qEb = qEl\sin\alpha$$

Вертикальное смещение (опускание):

$$h = l(1 - \cos\alpha)$$

Работа силы тяжести:

$$A_т = mgh = mgl(1 - \cos\alpha)$$

Полная работа потенциальных сил:

$$A = qEl\sin\alpha + mgl(1 - \cos\alpha)$$

Изменение кинетической энергии:

$$\Delta E_к = \frac{mv^2}{2} - 0 = \frac{mv^2}{2}$$

Приравняем:

$$\frac{mv^2}{2} = qEl\sin\alpha + mgl(1 - \cos\alpha)$$

$$mv^2 = 2qEl\sin\alpha + 2mgl(1 - \cos\alpha)$$

$$m(v^2 - 2gl(1 - \cos\alpha)) = 2qEl\sin\alpha$$

$$m = \frac{2qEl\sin\alpha}{v^2 + 2gl(1 - \cos\alpha)}$$

Подставим численные значения. Предварительно: $\sin 30^{\circ} = 0{,}5$, $\cos 30^{\circ} \approx 0{,}866$, $1 - \cos 30^{\circ} \approx 0{,}134$, $g = 10$ м/с².

Числитель:

$$2 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 6 \cdot 10^5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}5 = 2{,}4 \cdot 10^{-3}$$

Знаменатель:

$$0{,}9^2 + 2 \cdot 10 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}134 = 0{,}81 + 2{,}144 = 2{,}954$$

$$m = \frac{2{,}4 \cdot 10^{-3}}{2{,}954} \approx 8{,}1 \cdot 10^{-4} 	ext{ кг}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/24m2mQ2LkQD4hT2cZ49ZYuyOKlMmjyVtyNXDR7AD.webp)

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике