Question

В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной жёсткостью $k$ . Первоначально расстояние между поршнем и основанием составляет $L$ , а давление газа равно внешнему атмосферному давлению $p_0$ . После передачи газу количества теплоты $Q$ поршень медленно смещается вправо на расстояние $b$ . Найти площадь поршня $S$ .

Рисунок

![](image)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/OE3MdO9bmB1e2fr1RQcbzCwiJDxhuuQlvx9gdqAy.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: жёсткость пружины $k$, начальное расстояние $L$, начальное давление $p_0$, смещение поршня $b$, переданная теплота $Q$, газ одноатомный.

Идея решения: применить условие равновесия поршня в начальном и конечном состояниях, затем использовать первое начало термодинамики для определения работы газа.

В начальном состоянии поршень находится в равновесии. Пружина не деформирована (расстояние $L$ — естественная длина), поэтому сила упругости равна нулю:

$$p_0 S = p_0 S$$

Это условие автоматически выполнено.

После смещения поршня на расстояние $b$ вправо пружина сжимается на величину $b$. Новое давление газа $p_1$ определяется из условия равновесия:

$$p_1 S = p_0 S + kb$$

Отсюда:

$$p_1 = p_0 + \frac{kb}{S}$$

**Процесс расширения газа.**

Поскольку поршень движется медленно, процесс квазистатический. Объём газа изменяется от $V_0 = LS$ до $V_1 = (L + b)S$.

Работа, совершённая газом:

$$A = \int p \, dV$$

Так как давление меняется линейно (поршень в равновесии на каждом этапе), работа равна:

$$A = \frac{p_0 + p_1}{2} \cdot \Delta V = \frac{p_0 + p_0 + \frac{kb}{S}}{2} \cdot bS$$

$$A = \left(p_0 + \frac{kb}{2S}ight) \cdot bS = p_0 bS + \frac{kb^2}{2}$$

**Изменение внутренней энергии.**

Для одноатомного идеального газа:

$$\Delta U = \frac{3}{2} 
u R \Delta T$$

Используя уравнение состояния для начального и конечного состояний:

$$p_0 V_0 = 
u R T_0, \quad p_1 V_1 = 
u R T_1$$

$$
u R (T_1 - T_0) = p_1 V_1 - p_0 V_0 = \left(p_0 + \frac{kb}{S}ight)(L + b)S - p_0 LS$$

$$= p_0 LS + p_0 bS + \frac{kb}{S} \cdot LS + \frac{kb}{S} \cdot bS - p_0 LS$$

$$= p_0 bS + kbL + kb^2$$

Следовательно:

$$\Delta U = \frac{3}{2}(p_0 bS + kbL + kb^2)$$

**Первое начало термодинамики.**

$$Q = \Delta U + A$$

$$Q = \frac{3}{2}(p_0 bS + kbL + kb^2) + p_0 bS + \frac{kb^2}{2}$$

$$Q = \frac{3}{2}p_0 bS + \frac{3}{2}kbL + \frac{3}{2}kb^2 + p_0 bS + \frac{kb^2}{2}$$

$$Q = \frac{5}{2}p_0 bS + \frac{3}{2}kbL + 2kb^2$$

Решаем относительно $S$:

$$\frac{5}{2}p_0 bS = Q - \frac{3}{2}kbL - 2kb^2$$

$$S = \frac{2(Q - \frac{3}{2}kbL - 2kb^2)}{5p_0 b} = \frac{2Q - 3kbL - 4kb^2}{5p_0 b}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике