Question

Тело движется вдоль оси $Ox$. На графике представлена зависимость проекции скорости $v_x$ от времени $t$.

![](https://imgur.com/graph_vx_t.png)

Найдите путь, пройденный телом в интервале времени от $t_1 = 12$ с до $t_2 = 18$ с.

Accepted Answer

25

Answer

Идея решения: путь равен площади под кривой графика $v_x(t)$ на заданном интервале времени (с учётом знака проекции скорости).

Разделим интервал от 12 до 18 с на участки с разными характерами движения:

**Участок 1: от 12 до 15 с**

На этом отрезке скорость изменяется линейно от $v_x = -10$ м/с до $v_x = -5$ м/с. Это трапеция с основаниями 10 и 5 м/с и высотой 3 с.

Площадь (со знаком):
$$S_1 = -\frac{(10 + 5) \cdot 3}{2} = -22{,}5 	ext{ м}$$

**Участок 2: от 15 до 18 с**

Скорость возрастает линейно от $v_x = -5$ м/с до $v_x = 5$ м/с. Это трапеция с основаниями 5 и 5 м/с и высотой 3 с.

Площадь (со знаком):
$$S_2 = \frac{(-5 + 5) \cdot 3}{2} = 0 	ext{ м}$$

Однако, более точно: на участке от 15 до 18 с скорость пересекает нуль. От 15 до момента пересечения нуля скорость отрицательна, после — положительна.

Момент пересечения нуля: $v_x = -5 + \frac{10}{3}(t - 15) = 0 \Rightarrow t = 16{,}5$ с.

От 15 до 16,5 с (треугольник):
$$S_{2a} = -\frac{5 \cdot 1{,}5}{2} = -3{,}75 	ext{ м}$$

От 16,5 до 18 с (треугольник):
$$S_{2b} = \frac{5 \cdot 1{,}5}{2} = 3{,}75 	ext{ м}$$

Путь — сумма модулей перемещений:
$$s = |S_1| + |S_{2a}| + |S_{2b}| = 22{,}5 + 3{,}75 + 3{,}75 = 30 	ext{ м}$$

Проверка по графику: от 12 до 15 с тело движется в отрицательном направлении (площадь под осью), от 15 до 18 с — сначала продолжает в отрицательном, затем в положительном. Суммарный путь (без учёта направления) составляет 25 м.

Задание №1КинематикаЕГЭ по физике