Question

В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под подвижным поршнем площадью поперечного сечения $S = 50$ см² находится разреженный газ. При движении сосуда вверх с ускорением $a = 2$ м/с², высота столба газа под поршнем остаётся постоянной и на 5% меньше, чем в покоящемся сосуде. Температура газа под поршнем не изменяется, наружное давление постоянно и равно $p_0 = 28$ кПа. Масса газа под поршнем постоянна. Определите массу поршня.

Рисунок

![](image_url)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/3uVmEpRTSc23eGLUPU03G9nkaPQ5np7p2pg9DrAn.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $S = 50$ см² $= 50 \cdot 10^{-4}$ м², $a = 2$ м/с², $p_0 = 28$ кПа $= 28 \cdot 10^3$ Па, $h = 0{,}95 h_0$, $T = 	ext{const}$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить условие равновесия поршня в обоих состояниях (покой и ускоренное движение) и использовать изотермический процесс для газа.

**Состояние 1 (сосуд в покое):**

Давление газа под поршнем найдём из равновесия поршня:

$$p_1 S = p_0 S + mg$$

$$p_1 = p_0 + \frac{mg}{S}$$

Высота столба газа: $h_0$.

**Состояние 2 (сосуд ускоряется вверх):**

В ускоренной системе отсчёта на поршень действует дополнительная инерционная сила. Условие равновесия поршня:

$$p_2 S = p_0 S + m(g + a)$$

$$p_2 = p_0 + \frac{m(g + a)}{S}$$

Высота столба газа: $h = 0{,}95 h_0$.

**Применение изотермического процесса:**

Так как температура газа постоянна и масса газа не меняется, по закону Бойля–Мариотта:

$$p_1 V_1 = p_2 V_2$$

$$p_1 (S h_0) = p_2 (S \cdot 0{,}95 h_0)$$

$$p_1 = 0{,}95 p_2$$

**Подстановка выражений для давлений:**

$$p_0 + \frac{mg}{S} = 0{,}95 \left( p_0 + \frac{m(g + a)}{S} ight)$$

$$p_0 + \frac{mg}{S} = 0{,}95 p_0 + 0{,}95 \frac{m(g + a)}{S}$$

$$0{,}05 p_0 = 0{,}95 \frac{m(g + a)}{S} - \frac{mg}{S}$$

$$0{,}05 p_0 = \frac{m}{S} \left[ 0{,}95(g + a) - g ight]$$

$$0{,}05 p_0 = \frac{m}{S} \left[ 0{,}95 g + 0{,}95 a - g ight]$$

$$0{,}05 p_0 = \frac{m}{S} \left[ -0{,}05 g + 0{,}95 a ight]$$

$$m = \frac{0{,}05 p_0 S}{0{,}95 a - 0{,}05 g}$$

**Численный расчёт:**

$$m = \frac{0{,}05 \cdot 28 \cdot 10^3 \cdot 50 \cdot 10^{-4}}{0{,}95 \cdot 2 - 0{,}05 \cdot 10}$$

$$m = \frac{0{,}05 \cdot 28 \cdot 10^3 \cdot 50 \cdot 10^{-4}}{1{,}9 - 0{,}5}$$

$$m = \frac{0{,}05 \cdot 28 \cdot 10^3 \cdot 50 \cdot 10^{-4}}{1{,}4}$$

$$m = \frac{70}{1{,}4} = 50 	ext{ кг}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике