Question

Пластилиновая пуля массой 9 г летит горизонтально со скоростью 20 м/с и попадает в неподвижный груз, подвешенный на нити длиной 40 см. После попадания пуля прилипает к грузу, и система начинает колебаться. Максимальный угол отклонения нити от вертикали составляет $\alpha = 60^{\circ}$. Найдите массу груза.

Accepted Answer

81 г

Answer

Дано: $m_1 = 9$ г $= 0{,}009$ кг, $v_1 = 20$ м/с, $l = 40$ см $= 0{,}4$ м, $\alpha = 60^{\circ}$, груз первоначально неподвижен.

Идея решения: применить закон сохранения импульса при неупругом столкновении, затем закон сохранения энергии для колебаний после удара.

**Этап 1. Неупругое столкновение.**

При попадании пули в груз действует закон сохранения импульса (внешние силы тяжести и натяжения нити за время удара пренебрежимо малы по сравнению с импульсом удара):

$$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v$$

где $v$ — скорость системы (пуля + груз) сразу после удара, $m_2$ — масса груза.

Отсюда:

$$v = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$

**Этап 2. Колебания после удара.**

После удара система поднимается на высоту $h$, соответствующую углу отклонения $\alpha = 60^{\circ}$. Применим закон сохранения механической энергии:

$$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = (m_1 + m_2) g h$$

Высота подъёма центра масс:

$$h = l - l\cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$$

Подставим:

$$\frac{v^2}{2} = g l(1 - \cos\alpha)$$

$$v^2 = 2 g l(1 - \cos\alpha)$$

**Этап 3. Нахождение массы груза.**

Из первого уравнения:

$$v = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$

Возведём в квадрат:

$$v^2 = \frac{m_1^2 v_1^2}{(m_1 + m_2)^2}$$

Приравняем к выражению из энергии:

$$\frac{m_1^2 v_1^2}{(m_1 + m_2)^2} = 2 g l(1 - \cos\alpha)$$

Обозначим $m_1 + m_2 = M$:

$$\frac{m_1^2 v_1^2}{M^2} = 2 g l(1 - \cos\alpha)$$

$$M^2 = \frac{m_1^2 v_1^2}{2 g l(1 - \cos\alpha)}$$

$$M = \frac{m_1 v_1}{\sqrt{2 g l(1 - \cos\alpha)}}$$

Тогда:

$$m_2 = M - m_1 = \frac{m_1 v_1}{\sqrt{2 g l(1 - \cos\alpha)}} - m_1$$

$$m_2 = m_1 \left( \frac{v_1}{\sqrt{2 g l(1 - \cos\alpha)}} - 1 ight)$$

**Этап 4. Подстановка чисел.**

Вычислим подкоренное выражение:

$$1 - \cos 60^{\circ} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$$

$$2 g l(1 - \cos\alpha) = 2 \cdot 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 4 	ext{ м}^2/	ext{с}^2$$

$$\sqrt{2 g l(1 - \cos\alpha)} = 2 	ext{ м/с}$$

$$\frac{v_1}{\sqrt{2 g l(1 - \cos\alpha)}} = \frac{20}{2} = 10$$

$$m_2 = 0{,}009 \cdot (10 - 1) = 0{,}009 \cdot 9 = 0{,}081 	ext{ кг} = 81 	ext{ г}$$

Задание №22КинематикаЕГЭ по физике