Question

На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей с плотностями $\rho_1 = 900$ кг/м³ и $\rho_2 = 3\rho_1$ плавает шарик. Какой должна быть плотность шарика $\rho$ , чтобы выше границы раздела жидкостей находилась одна треть его объёма?

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $ho_1 = 900$ кг/м³, $ho_2 = 3ho_1 = 2700$ кг/м³, $\frac{V_1}{V_1 + V_2} = \frac{1}{3}$, где $V_1$ — объём шарика в первой жидкости, $V_2$ — объём во второй жидкости.

Идея решения: применить условие равновесия шарика, уравняв силу тяжести с суммой архимедовых сил от обеих жидкостей.

Шарик находится в равновесии. Сила тяжести уравновешивается выталкивающими силами от обеих жидкостей:

$$ho g(V_1 + V_2) = ho_1 g V_1 + ho_2 g V_2$$

Сокращаем на $g$ и выражаем плотность шарика:

$$ho = \frac{ho_1 V_1 + ho_2 V_2}{V_1 + V_2}$$

Обозначим долю объёма в первой жидкости как $\alpha = \frac{V_1}{V_1 + V_2}$. Тогда $\frac{V_2}{V_1 + V_2} = 1 - \alpha$, и:

$$ho = ho_1 \alpha + ho_2(1 - \alpha) = ho_2 + (ho_1 - ho_2)\alpha$$

Перепишем в удобном виде:

$$ho - ho_2 = (ho_1 - ho_2)\alpha$$

$$\frac{ho_2 - ho}{ho_2 - ho_1} = \alpha$$

По условию $\alpha = \frac{1}{3}$:

$$\frac{ho_2 - ho}{ho_2 - ho_1} = \frac{1}{3}$$

$$ho_2 - ho = \frac{ho_2 - ho_1}{3}$$

$$ho = ho_2 - \frac{ho_2 - ho_1}{3} = \frac{3ho_2 - ho_2 + ho_1}{3} = \frac{2ho_2 + ho_1}{3}$$

Подставляем $ho_2 = 3ho_1$:

$$ho = \frac{2 \cdot 3ho_1 + ho_1}{3} = \frac{7ho_1}{3}$$

$$ho = \frac{7 \cdot 900}{3} = \frac{6300}{3} = 2100 	ext{ кг/м}^3$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике