Question

На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами высотой $h$ и $\frac{5h}{2}$ соответственно (см. рисунок). На правой вершине находится шайба. После незначительного толчка шайба и горка начинают движение: шайба скользит влево по гладкой поверхности горки, а сама горка остаётся на столе. Когда шайба достигает левой вершины, её скорость равна $V$ . Найдите отношение масс шайбы и горки. Обоснуйте применимость используемых законов.

![](рисунок горки с двумя вершинами)

Рисунок

![](рисунок горки с двумя вершинами)

---

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/2JsIxXbIUi7exXVypjMgzZ0rVsBkDIFz8HgvjOj9.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: высоты вершин $h$ и $\frac{5h}{2}$, скорость шайбы на левой вершине $V$, поверхность стола и горка гладкие (без трения).

Идея решения: применить законы сохранения импульса и энергии для системы шайба–горка, учитывая, что горка остаётся на столе и движется поступательно.

**Обоснование модели:**
- Поверхность стола гладкая → горизонтальная составляющая импульса системы сохраняется.
- Поверхность горки гладкая → нормальная сила между шайбой и горкой не совершает работу в горизонтальном направлении; энергия механическая сохраняется.
- Горка не отрывается от стола → вертикальная реакция стола компенсирует вес системы.
- Горка движется поступательно → все её точки имеют одинаковую скорость.

**Обозначения:** $m$ — масса шайбы, $M$ — масса горки, $v_ш$ — скорость шайбы в лабораторной системе отсчёта, $v_г$ — скорость горки.

**Закон сохранения горизонтального импульса:**

Начально система покоится. В момент, когда шайба находится на левой вершине:

$$m v_ш + M v_г = 0$$

Отсюда:

$$v_г = -\frac{m}{M} v_ш$$

Знак минус указывает, что горка движется вправо, если шайба движется влево.

**Закон сохранения энергии:**

Начальная энергия: шайба на правой вершине (высота $\frac{5h}{2}$), горка в покое.

Конечная энергия: шайба на левой вершине (высота $h$), обе движутся.

$$mg \cdot \frac{5h}{2} = mg \cdot h + \frac{1}{2}m v_ш^2 + \frac{1}{2}M v_г^2$$

Упростим:

$$mg \cdot \frac{3h}{2} = \frac{1}{2}m v_ш^2 + \frac{1}{2}M v_г^2$$

Подставим $v_г = -\frac{m}{M} v_ш$ (модуль $|v_г| = \frac{m}{M} |v_ш|$):

$$mg \cdot \frac{3h}{2} = \frac{1}{2}m v_ш^2 + \frac{1}{2}M \left(\frac{m}{M} v_шight)^2$$

$$mg \cdot \frac{3h}{2} = \frac{1}{2}m v_ш^2 + \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} v_ш^2$$

$$mg \cdot \frac{3h}{2} = \frac{1}{2}m v_ш^2 \left(1 + \frac{m}{M}ight)$$

$$g \cdot \frac{3h}{2} = \frac{1}{2} v_ш^2 \left(1 + \frac{m}{M}ight)$$

По условию $v_ш = V$ (скорость шайбы на левой вершине):

$$g \cdot \frac{3h}{2} = \frac{1}{2} V^2 \left(1 + \frac{m}{M}ight)$$

$$3gh = V^2 \left(1 + \frac{m}{M}ight)$$

$$1 + \frac{m}{M} = \frac{3gh}{V^2}$$

$$\frac{m}{M} = \frac{3gh}{V^2} - 1 = \frac{3gh - V^2}{V^2}$$

$\frac{gh}{V^2}$ имеет размерность $\frac{	ext{м/с}^2 \cdot 	ext{м}}{(	ext{м/с})^2} = 1$ (безразмерно) ✓

---

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике