Question

Маленький шарик массой $m = 0{,}5$ кг подвешен на лёгкой нерастяжимой нити длиной $l = 0{,}8$ м, которая разрывается при силе натяжения $T_0 = 8{,}6$ Н. Шарик отведён от положения равновесия (показано пунктиром на рисунке) и отпущен. Когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается, и шарик тут же абсолютно неупруго сталкивается с бруском, лежащим неподвижно на гладкой горизонтальной поверхности стола. Скорость бруска после удара $v = 0{,}4$ м/с. Какова масса $M$ бруска? Считать, что брусок после удара движется поступательно. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 0{,}5$ кг, $l = 0{,}8$ м, $T_0 = 8{,}6$ Н, $v = 0{,}4$ м/с, $g = 10$ м/с².

Идея решения: найти скорость шарика в положении равновесия из условия разрыва нити, затем применить закон сохранения импульса при абсолютно неупругом столкновении.

**Шаг 1. Определение скорости шарика в положении равновесия.**

В нижней точке траектории на шарик действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и натяжение нити $T$ (вверх). Равнодействующая обеспечивает центростремительное ускорение:

$$T - mg = \frac{mv_0^2}{l}$$

где $v_0$ — скорость шарика в положении равновесия.

Нить разрывается при $T = T_0$:

$$T_0 - mg = \frac{mv_0^2}{l}$$

$$v_0^2 = \frac{l(T_0 - mg)}{m}$$

$$v_0^2 = \frac{0{,}8 \cdot (8{,}6 - 0{,}5 \cdot 10)}{0{,}5} = \frac{0{,}8 \cdot 3{,}6}{0{,}5} = \frac{2{,}88}{0{,}5} = 5{,}76$$

$$v_0 = 2{,}4 	ext{ м/с}$$

**Шаг 2. Применение закона сохранения импульса при неупругом столкновении.**

После разрыва нити шарик движется горизонтально со скоростью $v_0$ и сталкивается с неподвижным бруском. Поскольку удар абсолютно неупругий, тела движутся вместе после столкновения. Однако по условию брусок движется поступательно на гладкой поверхности, а шарик прилипает к нему.

Закон сохранения импульса для системы шарик + брусок:

$$mv_0 = (m + M)v$$

где $v = 0{,}4$ м/с — скорость бруска (и шарика) после удара.

$$M = m\left(\frac{v_0}{v} - 1ight)$$

$$M = 0{,}5 \cdot \left(\frac{2{,}4}{0{,}4} - 1ight) = 0{,}5 \cdot (6 - 1) = 0{,}5 \cdot 5 = 2{,}5 	ext{ кг}$$

**Обоснование применимости законов:**

1. **Закон сохранения энергии при движении маятника:** нить нерастяжима, сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому механическая энергия сохраняется.

2. **Условие разрыва нити:** натяжение достигает предельного значения $T_0$ именно в положении равновесия, где скорость максимальна и центростремительное ускорение наибольшее.

3. **Закон сохранения импульса при столкновении:** удар происходит за время, много меньшее времени взаимодействия с опорой, поэтому внешние силы (тяжесть, нормаль от стола) не влияют на изменение импульса системы в горизонтальном направлении. Поверхность гладкая, трения нет.

4. **Абсолютно неупругий удар:** шарик прилипает к бруску, они движутся как единое целое после столкновения.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике