Question

На горизонтальном невесомом стержне АВ длиной $L = 1{,}8$ м закреплены два массивных шара массами $m_1$ и $m_2$ на его концах. Стержень опирается на две опоры С и D. Расстояние от точки А до опоры С составляет $AC = 0{,}8$ м, расстояние между опорами $CD = 0{,}6$ м. Известно, что сила давления стержня на опору D в 2 раза больше, чем на опору С. Найдите массу шара $m_2$ , если $m_1 = 5$ кг.

Сделайте рисунок с указанием всех внешних сил, действующих на систему. Обоснуйте применимость используемых законов.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

**Дано:**
$L = 1{,}8$ м, $AC = 0{,}8$ м, $CD = 0{,}6$ м, $m_1 = 5$ кг, $N_D = 2N_C$.

**Идея решения:** применить условия равновесия (сумма сил и сумма моментов равны нулю) для неподвижной системы стержня с шарами.

**Обоснование модели:**
- Стержень невесом, поэтому его массой пренебрегаем.
- Система находится в состоянии покоя, следовательно, применимы условия статического равновесия: сумма всех сил равна нулю и сумма моментов относительно любой точки равна нулю.
- Опоры С и D создают нормальные реакции, направленные вертикально вверх.

**Расчёт положений:**
Определим расстояния от опор до концов стержня:
- расстояние от С до В: $CB = L - AC = 1{,}8 - 0{,}8 = 1$ м;
- расстояние от D до А: $DA = AC + CD - AC = CD + (AC - AC) = 0{,}6$ м (нужно пересчитать);

Более аккуратно: если А находится в начале, С на расстоянии 0,8 м, D на расстоянии $0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}4$ м от А, то:
- $AD = 1{,}4$ м;
- $DB = L - AD = 1{,}8 - 1{,}4 = 0{,}4$ м.

$$N_C + N_D = m_1 g + m_2 g$$

С учётом $N_D = 2N_C$:

$$N_C + 2N_C = (m_1 + m_2)g$$

$$3N_C = (m_1 + m_2)g \quad \Rightarrow \quad N_C = \frac{(m_1 + m_2)g}{3}$$

Моменты, создаваемые силами тяжести и реакцией опоры D:

$$m_1 g \cdot AC + m_2 g \cdot CB = N_D \cdot CD$$

Подставим $N_D = 2N_C = \frac{2(m_1 + m_2)g}{3}$:

$$m_1 g \cdot 0{,}8 + m_2 g \cdot 1 = \frac{2(m_1 + m_2)g}{3} \cdot 0{,}6$$

Сокращаем на $g$:

$$0{,}8 m_1 + m_2 = \frac{2(m_1 + m_2) \cdot 0{,}6}{3}$$

$$0{,}8 m_1 + m_2 = \frac{1{,}2(m_1 + m_2)}{3}$$

$$0{,}8 m_1 + m_2 = 0{,}4 m_1 + 0{,}4 m_2$$

$$0{,}4 m_1 = -0{,}6 m_2$$

Это даёт отрицательный результат, что указывает на ошибку в расстояниях. Пересчитаем: $CB = 1{,}8 - 0{,}8 = 1$ м (верно).

Переделаем уравнение моментов относительно С:

$$m_1 g \cdot AC + m_2 g \cdot CB = N_D \cdot CD$$

$$5 \cdot 0{,}8 + m_2 \cdot 1 = 2N_C \cdot 0{,}6$$

Из первого условия: $N_C = \frac{(5 + m_2)g}{3}$, тогда $2N_C = \frac{2(5 + m_2)g}{3}$.

$$4 + m_2 = \frac{2(5 + m_2) \cdot 0{,}6}{3}$$

$$4 + m_2 = \frac{1{,}2(5 + m_2)}{3} = 0{,}4(5 + m_2)$$

$$4 + m_2 = 2 + 0{,}4 m_2$$

$$2 = -0{,}6 m_2$$

Снова отрицательно. Проверим: момент от $N_D$ должен быть $N_D \cdot CD$, но это верно только если D находится между С и В. Проверим геометрию: $AC = 0{,}8$, $CD = 0{,}6$, значит $AD = 1{,}4$ м, $DB = 0{,}4$ м. Всё верно.

Переделаем уравнение моментов относительно D:

$$m_1 g \cdot DB + m_2 g \cdot AD = N_C \cdot CD$$

$$5 \cdot 0{,}4 + m_2 \cdot 1{,}4 = N_C \cdot 0{,}6$$

Из условия равновесия: $N_C = \frac{(5 + m_2)g}{3}$, но без $g$ (работаем с массами):

$$2 + 1{,}4 m_2 = 0{,}6 \cdot \frac{5 + m_2}{3}$$

$$2 + 1{,}4 m_2 = 0{,}2(5 + m_2)$$

$$2 + 1{,}4 m_2 = 1 + 0{,}2 m_2$$

$$1 = -1{,}2 m_2$$

Снова ошибка. Вернёмся к уравнению моментов относительно С, но учтём, что момент от $N_D$ направлен в противоположную сторону:

$$m_1 g \cdot AC = N_D \cdot CD - m_2 g \cdot CB$$

$$5 \cdot 0{,}8 = 2N_C \cdot 0{,}6 - m_2 \cdot 1$$

$$4 = 1{,}2 N_C - m_2$$

С $N_C = \frac{(5 + m_2)g}{3}$ (без $g$: $N_C = \frac{5 + m_2}{3}$):

$$4 = 1{,}2 \cdot \frac{5 + m_2}{3} - m_2$$

$$4 = 0{,}4(5 + m_2) - m_2$$

$$4 = 2 + 0{,}4 m_2 - m_2$$

$$2 = -0{,}6 m_2$$

Ошибка в знаке. Правильное уравнение моментов относительно С (против часовой стрелки положительно):

$$m_1 g \cdot AC + N_D \cdot CD = m_2 g \cdot CB$$

$$5 \cdot 0{,}8 + 2N_C \cdot 0{,}6 = m_2 \cdot 1$$

$$4 + 1{,}2 N_C = m_2$$

С $N_C = \frac{(5 + m_2)}{3}$:

$$4 + 1{,}2 \cdot \frac{5 + m_2}{3} = m_2$$

$$4 + 0{,}4(5 + m_2) = m_2$$

$$4 + 2 + 0{,}4 m_2 = m_2$$

$$6 = 0{,}6 m_2$$

$$m_2 = 10 	ext{ кг}$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике