Question

В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем площадью $S$ находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной жёсткости $k$ . В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно $L$ , а давление газа равно внешнему атмосферному давлению $p_0$ . Затем газу передано количество теплоты $Q$ , и поршень медленно переместился вправо на расстояние $b$ . Найти жёсткость пружины $k$ .

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: площадь поршня $S$, начальная длина $L$, начальное давление $p_0$, смещение поршня $b$, переданная теплота $Q$, газ одноатомный.

Идея решения: применить условие равновесия поршня в начальном и конечном состояниях, а также первое начало термодинамики для определения работы газа.

В начальном состоянии поршень находится в равновесии. Давление газа уравновешивает атмосферное давление и упругую силу пружины:

$$p_0 S = p_0 S + F_{пр,0}$$

где $F_{пр,0}$ — сила пружины в начальном состоянии. Поскольку пружина не деформирована в начальном состоянии (поршень в равновесии при равных давлениях), имеем $F_{пр,0} = 0$.

После смещения поршня на расстояние $b$ вправо пружина сжимается на величину $b$, и её сила становится $F_{пр} = kb$. В новом равновесии:

$$p_1 S = p_0 S + kb$$

откуда давление газа в конечном состоянии:

$$p_1 = p_0 + \frac{kb}{S}$$

**Применение первого начала термодинамики.**

Объём газа изменился с $V_0 = LS$ на $V_1 = (L + b)S$. Работа, совершённая газом:

$$A = p_0 \Delta V + \frac{1}{2}k b^2$$

где первый член — работа против атмосферного давления, второй — работа против пружины.

Более прямо: работа газа равна

$$A = p_0 S b + \frac{1}{2}kb^2$$

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии:

$$\Delta U = \frac{3}{2}(p_1 V_1 - p_0 V_0)$$

Подставляя $p_1 = p_0 + \frac{kb}{S}$ и $V_1 = (L+b)S$:

$$\Delta U = \frac{3}{2}\left[\left(p_0 + \frac{kb}{S}\right)(L+b)S - p_0 LS\right]$$

$$\Delta U = \frac{3}{2}\left[p_0 S b + kb(L+b)\right]$$

$$\Delta U = \frac{3}{2}p_0 S b + \frac{3}{2}kb(L+b)$$

По первому началу термодинамики:

$$Q = \Delta U + A$$

$$Q = \frac{3}{2}p_0 S b + \frac{3}{2}kb(L+b) + p_0 S b + \frac{1}{2}kb^2$$

$$Q = \frac{5}{2}p_0 S b + \frac{3}{2}kb(L+b) + \frac{1}{2}kb^2$$

$$Q = \frac{5}{2}p_0 S b + \frac{3}{2}kbL + \frac{3}{2}kb^2 + \frac{1}{2}kb^2$$

$$Q = \frac{5}{2}p_0 S b + \frac{3}{2}kbL + 2kb^2$$

Решая относительно $k$:

$$Q - \frac{5}{2}p_0 S b = kb\left(\frac{3}{2}L + 2b\right)$$

$$k = \frac{Q - \frac{5}{2}p_0 S b}{b\left(\frac{3}{2}L + 2b\right)} = \frac{2Q - 5p_0 S b}{b(3L + 4b)}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике