Question

Свинцовый шар подвешен на нити и полностью погружён в воду. Нить образует с вертикалью угол $\alpha = 30^{\circ}$ . Модуль силы натяжения нити $T = 30$ Н. Плотность свинца $\rho = 11\,300$ кг/м³. Чему равна масса шара? Трением шара о стенку пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шар. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![](image_url)

---

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/cjngoNS98gIhUE1fgcHYX7HjKXMWCQBe0k1MUsoI.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $\alpha = 30^{\circ}$, $T = 30$ Н, $ho = 11\,300$ кг/м³, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить условие равновесия шара под действием трёх сил (натяжение, вес, выталкивающая сила) и выразить массу через проекции сил на координатные оси.

**Обоснование модели:**
- Шар находится в состоянии покоя, поэтому применим второй закон Ньютона в форме условия равновесия: $\sum \vec{F} = 0$.
- Нить нерастяжима и невесома, натяжение передаётся полностью на шар.
- Трением о стенку пренебрегаем по условию; шар взаимодействует только с водой (выталкивающая сила) и нитью.
- Выталкивающая сила (закон Архимеда) действует вертикально вверх и равна весу вытесненной воды.

**Схема сил:**

На шар действуют три силы:
- $\vec{T}$ — натяжение нити (направлено вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали);
- $m\vec{g}$ — вес шара (вертикально вниз);
- $\vec{F}_A$ — выталкивающая сила Архимеда (вертикально вверх).

**Уравнение равновесия:**

Запишем условие равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси.

По горизонтали:
$$T \sin \alpha = 0$$

Это невозможно при $T 
eq 0$ и $\sin \alpha 
eq 0$. Следовательно, шар касается стенки, и на него действует нормальная сила $N$ от стенки (горизонтально).

По горизонтали (с учётом нормальной реакции):
$$T \sin \alpha = N$$

По вертикали:
$$T \cos \alpha + F_A = mg$$

Выталкивающая сила связана с объёмом шара:
$$F_A = ho_{	ext{воды}} g V = ho_{	ext{воды}} g \cdot \frac{m}{ho}$$

где $V = m/ho$ — объём шара.

Подставим в уравнение вертикального равновесия:
$$T \cos \alpha + ho_{	ext{воды}} g \cdot \frac{m}{ho} = mg$$

$$T \cos \alpha = mg - ho_{	ext{воды}} g \cdot \frac{m}{ho}$$

$$T \cos \alpha = m \left( g - \frac{ho_{	ext{воды}}}{ho} g ight)$$

$$T \cos \alpha = mg \left( 1 - \frac{ho_{	ext{воды}}}{ho} ight)$$

Выразим массу:
$$m = \frac{T \cos \alpha}{g \left( 1 - \frac{ho_{	ext{воды}}}{ho} ight)}$$

**Подстановка значений:**

Плотность воды $ho_{	ext{воды}} = 1000$ кг/м³.

$$m = \frac{30 \cdot \cos 30^{\circ}}{10 \cdot \left( 1 - \frac{1000}{11\,300} ight)}$$

$$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$$

$$1 - \frac{1000}{11\,300} = \frac{11\,300 - 1000}{11\,300} = \frac{10\,300}{11\,300} \approx 0{,}911$$

$$m = \frac{30 \cdot 0{,}866}{10 \cdot 0{,}911} = \frac{25{,}98}{9{,}11} \approx 2{,}85 	ext{ кг}$$

$$[m] = \frac{[	ext{Н}]}{[	ext{м/с}^2]} = \frac{	ext{кг·м/с}^2}{	ext{м/с}^2} = 	ext{кг}$$ ✓

---

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике