Question

Цилиндр массой $m = 1$ кг и радиусом $R = 4$ см, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Ось цилиндра горизонтальна. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью $\mu = 0{,}5$ . При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

![](изображение цилиндра на наклонной плоскости с нитью, прикреплённой к стенке)

Рисунок

![](изображение цилиндра на наклонной плоскости с нитью, прикреплённой к стенке)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/x2PWIDqRxfflmQ5yzoAnYLTTPgnvfGxjRaLo35CA.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 1$ кг, $R = 4$ см $= 0{,}04$ м, $\mu = 0{,}5$.

Идея решения: применить условия равновесия (равенство нулю суммы сил и моментов) и найти угол, при котором трение достигает предельного значения.

**Обоснование модели:**
- Нить нерастяжима и не скользит по цилиндру, поэтому натяжение нити создаёт момент, препятствующий скатыванию.
- Цилиндр находится в статическом равновесии: сумма сил и сумма моментов относительно центра равны нулю.
- Трение статическое, его максимальное значение $f_{\max} = \mu N$.
- Ось цилиндра горизонтальна и неподвижна.

**Расстановка сил:**

На цилиндр действуют:
- вес $mg$ (вертикально вниз);
- нормальная реакция $N$ (перпендикулярно плоскости);
- натяжение нити $T$ (параллельно плоскости, вверх по склону);
- сила трения $f$ (параллельно плоскости, вверх по склону).

**Уравнения равновесия:**

Проекция на направление вдоль плоскости (положительное направление — вверх по склону):

$$T + f = mg\sin\alpha$$

Проекция на направление перпендикулярно плоскости:

$$N = mg\cos\alpha$$

**Уравнение моментов относительно центра цилиндра:**

Натяжение нити создаёт момент, стремящийся повернуть цилиндр против часовой стрелки (если смотреть с конца оси). Сила трения создаёт момент в противоположном направлении. При равновесии:

$$T \cdot R = f \cdot R$$

откуда:

$$T = f$$

**Решение системы:**

Подставим $T = f$ в первое уравнение:

$$f + f = mg\sin\alpha$$

$$2f = mg\sin\alpha$$

$$f = \frac{mg\sin\alpha}{2}$$

Максимальное трение:

$$f_{\max} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$$

В критическом случае (максимальный угол):

$$f = f_{\max}$$

$$\frac{mg\sin\alpha_{\max}}{2} = \mu mg\cos\alpha_{\max}$$

$$\frac{\sin\alpha_{\max}}{2} = \mu \cos\alpha_{\max}$$

$$\sin\alpha_{\max} = 2\mu \cos\alpha_{\max}$$

$$	an\alpha_{\max} = 2\mu$$

$$	an\alpha_{\max} = 2 \cdot 0{,}5 = 1$$

$$\alpha_{\max} = 45^{\circ}$$

**Физическая разумность:** при $\mu = 0{,}5$ и $\alpha = 45^{\circ}$ трение достаточно, чтобы удержать цилиндр вместе с натяжением нити. При увеличении угла трение становится недостаточным.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике