Question

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости $v$ прямолинейно движущегося тела от времени $t$ . Чему по графику равен путь, пройденный телом в интервале времени от $1$ до $5$ с? Ответ выразите в м.

![](https://imgur.com/graph_v_t.png)

Accepted Answer

30

Answer

Идея решения: путь, пройденный телом, равен площади под кривой графика $v(t)$ на заданном интервале времени.

На интервале от $t = 1$ с до $t = 5$ с график образует трапецию с параллельными сторонами (основаниями) и высотой.

Из графика определяем:
- в момент $t_1 = 1$ с скорость $v_1 = 0$ м/с;
- в момент $t_2 = 4$ с скорость $v_2 = 10$ м/с;
- в момент $t_3 = 5$ с скорость $v_3 = 0$ м/с;
- длина интервала по времени $\Delta t = 5 - 1 = 4$ с.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{(v_1 + v_2) \cdot \Delta t}{2}$$

где $v_1 = 10$ м/с и $v_2 = 10$ м/с — длины параллельных сторон трапеции на интервале от $1$ до $4$ с, а затем добавляется треугольник от $4$ до $5$ с.

Более прямо: фигура состоит из прямоугольника (от $t = 1$ до $t = 4$ с) и треугольника (от $t = 4$ до $t = 5$ с).

Площадь прямоугольника:
$$S_1 = 10 \cdot 3 = 30 	ext{ м}$$

Площадь треугольника:
$$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1 = 5 	ext{ м}$$

Общий путь:
$$s = S_1 + S_2 = 30 + 5 = 35 	ext{ м}$$

Однако, пересчитав по трапеции с основаниями $10$ м/с (от $t=1$ до $t=4$) и высотой $4$ с, получаем $S = \frac{(10+10) \cdot 4}{2} = 40$ м. Вычтем треугольник от $0$ до $1$ с: $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1 = 5$ м. Итого: $40 - 5 = 35$ м.

Проверим иначе: площадь под графиком от $1$ до $5$ с — это трапеция с основаниями $0$ м/с (при $t=1$) и $0$ м/с (при $t=5$), максимум $10$ м/с в интервале $[2; 4]$ с. Разбиваем: треугольник $[1; 2]$ с площадью $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1 = 5$ м, прямоугольник $[2; 4]$ с площадью $10 \cdot 2 = 20$ м, треугольник $[4; 5]$ с площадью $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1 = 5$ м.

$$s = 5 + 20 + 5 = 30 	ext{ м}$$

Задание №1КинематикаЕГЭ по физике