Question

Брусок массой $m = 1$ кг, привязанный к потолку лёгкой нитью, опирается на массивную горизонтальную доску. Под действием горизонтальной силы $\vec{F}$ доска движется поступательно вправо с постоянной скоростью. Брусок при этом остаётся неподвижен, а нить образует с вертикалью угол $\alpha = 30^{\circ}$ . Найдите $F$ , если коэффициент трения бруска по доске $\mu = 0{,}2$ . Трением доски по опоре пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 1$ кг, $\alpha = 30^{\circ}$, $\mu = 0{,}2$, $g = 10$ м/с².

**Обоснование модели:** Доска движется с постоянной скоростью, поэтому её ускорение равно нулю. Брусок неподвижен относительно доски, следовательно, он также движется равномерно (ускорение равно нулю). Применим второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта: равнодействующая всех сил, действующих на брусок, равна нулю. Нить считаем нерастяжимой и лёгкой, трением доски о опору пренебрегаем.

**Анализ сил на брусок:**

На брусок действуют четыре силы:
- вес $mg$ (вниз);
- натяжение нити $T$ (вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали);
- нормальная реакция доски $N$ (вверх);
- сила трения $f$ (горизонтально, в направлении движения доски).

Поскольку брусок находится в равновесии, запишем условия равновесия по горизонтали и вертикали:

$$T \sin \alpha = f$$

$$T \cos \alpha + N = mg$$

Сила трения связана с нормальной реакцией соотношением:

$$f = \mu N$$

Из первого уравнения:

$$T \sin \alpha = \mu N$$

Из второго уравнения:

$$N = mg - T \cos \alpha$$

Подставим выражение для $N$ в уравнение для трения:

$$T \sin \alpha = \mu (mg - T \cos \alpha)$$

$$T \sin \alpha = \mu mg - \mu T \cos \alpha$$

$$T (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) = \mu mg$$

$$T = \frac{\mu mg}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}$$

Найдём нормальную реакцию:

$$N = mg - T \cos \alpha = mg - \frac{\mu mg \cos \alpha}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}$$

$$N = \frac{mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) - \mu mg \cos \alpha}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha} = \frac{mg \sin \alpha}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}$$

Сила трения:

$$f = \mu N = \frac{\mu mg \sin \alpha}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}$$

Сила $F$ должна преодолеть трение между доской и опорой, которое возникает из-за веса доски и бруска. Однако, поскольку трением доски по опоре пренебрегаем, сила $F$ равна силе трения между брусок и доской:

$$F = f = \frac{\mu mg \sin \alpha}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}$$

**Подстановка значений:**

$$\sin 30^{\circ} = 0{,}5, \quad \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$$

$$F = \frac{0{,}2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 0{,}5}{0{,}5 + 0{,}2 \cdot 0{,}866} = \frac{1}{0{,}5 + 0{,}1732} = \frac{1}{0{,}6732} \approx 1{,}485 	ext{ Н}$$

Проверка размерности: $\frac{	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2}{	ext{безразмерно}} = 	ext{Н}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике