Question

Небольшая шайба массой $m = 10$ г, начав движение из нижней точки закреплённого вертикального гладкого кольца радиусом $R = 0{,}14$ м, скользит по его внутренней поверхности. На высоте $h = 0{,}18$ м она отрывается от кольца и свободно падает. Какую кинетическую энергию имела шайба в начале движения? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в точке А. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 10$ г $= 0{,}01$ кг, $R = 0{,}14$ м, $h = 0{,}18$ м, $g = 10$ м/с².

Идея решения: в точке отрыва нормальная сила обращается в ноль; используя второй закон Ньютона для движения по окружности и геометрию задачи, найдём скорость в точке отрыва, а затем начальную кинетическую энергию через закон сохранения энергии.

**Обоснование модели:**
- Кольцо гладкое (трение отсутствует), поэтому механическая энергия сохраняется.
- Нить (контакт шайбы с кольцом) нерастяжима; шайба движется по окружности до момента отрыва.
- В точке отрыва А нормальная сила реакции $N = 0$; далее шайба движется по параболе свободного падения.

В точке А на шайбу действуют сила тяжести $mg$ и нормальная сила $N$ (направлена к центру). Проекция на радиальное направление (к центру окружности):

$$mg\cos\alpha = \frac{mv_A^2}{R}$$

где $\alpha$ — угол между радиусом в точке А и вертикалью (направлением силы тяжести).

При отрыве $N = 0$, поэтому:

$$mg\cos\alpha = \frac{mv_A^2}{R}$$

$$v_A^2 = Rg\cos\alpha \quad (1)$$

**Геометрическое соотношение:**

Высота точки А над нижней точкой кольца:

$$h = R + R\cos\alpha$$

$$\cos\alpha = \frac{h - R}{R} \quad (2)$$

**Подстановка (2) в (1):**

$$v_A^2 = Rg \cdot \frac{h - R}{R} = g(h - R)$$

**Начальная кинетическая энергия:**

По закону сохранения энергии между нижней точкой (начало движения) и точкой А:

$$E_{к0} + 0 = E_{кA} + mgh$$

$$E_{к0} = \frac{mv_A^2}{2} + mgh$$

Однако, используя условие отрыва напрямую:

$$E_{к0} = \frac{mv_A^2}{2} = \frac{m \cdot g(h - R)}{2}$$

**Численный расчёт:**

$$E_{к0} = \frac{0{,}01 \cdot 10 \cdot (0{,}18 - 0{,}14)}{2} = \frac{0{,}01 \cdot 10 \cdot 0{,}04}{2}$$

$$E_{к0} = \frac{0{,}004}{2} = 0{,}002 	ext{ Дж}$$

**Проверка размерности:** $[E_{к0}] = 	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2 \cdot 	ext{м} = 	ext{Н} \cdot 	ext{м} = 	ext{Дж}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике