Question

Два теплоизолированных сосуда с объёмами $V_1 = 2V$ и $V_2 = V$ соединены трубкой с вентилем. Вентиль закрыт. В первом сосуде находится разреженный аргон в количестве $
u_1$ молей при температуре $T_1$, во втором — разреженный криптон в количестве $
u_2 = 2
u_1$ молей при температуре $T_2 = 2T_1$. Найти давление в сосудах после открытия вентиля. Объёмом трубки пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: $V_1 = 2V$, $V_2 = V$, $
u_2 = 2
u_1$, $T_2 = 2T_1$, сосуды теплоизолированы.

Идея решения: применить уравнение состояния идеального газа и закон сохранения энергии для изолированной системы.

**Начальные давления:**

Для первого сосуда (аргон):
$$p_1 = \frac{
u_1 RT_1}{V_1} = \frac{
u_1 RT_1}{2V}$$

Для второго сосуда (криптон):
$$p_2 = \frac{
u_2 RT_2}{V_2} = \frac{2
u_1 R \cdot 2T_1}{V} = \frac{4
u_1 RT_1}{V}$$

**После открытия вентиля:**

Газы смешиваются и достигают общего давления $p$ и общей температуры $T$. Общий объём: $V_{общ} = V_1 + V_2 = 3V$.

Общее количество вещества: $
u_{общ} = 
u_1 + 2
u_1 = 3
u_1$.

По уравнению состояния:
$$p(V_1 + V_2) = 
u_{общ} RT$$

$$p \cdot 3V = 3
u_1 RT$$

$$p = \frac{
u_1 RT}{V} \quad (*)$$

**Закон сохранения энергии:**

Так как система теплоизолирована, внутренняя энергия сохраняется:
$$U_{нач} = U_{кон}$$

Для одноатомного газа (аргон и криптон — одноатомные):
$$\frac{3}{2}
u_1 RT_1 + \frac{3}{2} \cdot 2
u_1 R \cdot 2T_1 = \frac{3}{2} \cdot 3
u_1 RT$$

$$\frac{3}{2}
u_1 RT_1 + 6
u_1 RT_1 = \frac{9}{2}
u_1 RT$$

$$\frac{15}{2}
u_1 RT_1 = \frac{9}{2}
u_1 RT$$

$$T = \frac{15}{9}T_1 = \frac{5}{3}T_1$$

**Подстановка в уравнение (*):**

$$p = \frac{
u_1 R \cdot \frac{5}{3}T_1}{V} = \frac{5}{3}\frac{
u_1 RT_1}{V}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике