Question

Снаряд массой 4 кг, летящий со скоростью 400 м/с, разрывается на две равные части. Одна часть продолжает движение в направлении полёта снаряда, другая летит в противоположную сторону. При разрыве суммарная кинетическая энергия осколков возрастает на 0,5 МДж. Найдите скорость осколка, движущегося в направлении первоначального движения снаряда. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов.

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 4$ кг, $v_0 = 400$ м/с, $\Delta E_к = 0{,}5$ МДж $= 5 \cdot 10^5$ Дж, массы осколков равны.

Идея решения: применить закон сохранения импульса (внутренние силы взрыва не меняют суммарный импульс системы) и соотношение между изменением кинетической энергии и энергией взрыва.

**Обоснование модели:**
- Взрыв происходит за время, намного меньшее времени полёта, поэтому внешние силы (тяжесть, сопротивление воздуха) пренебрежимо малы по сравнению с внутренними силами взрыва.
- Закон сохранения импульса применим: суммарный импульс системы до и после разрыва одинаков.
- Увеличение кинетической энергии обусловлено химической энергией взрывчатого вещества, которая переходит в кинетическую энергию осколков.

**Решение:**

Обозначим массу каждого осколка $m_1 = m_2 = m/2 = 2$ кг. Пусть $v_1$ — скорость осколка, летящего в направлении движения, $v_2$ — скорость осколка, летящего в противоположную сторону (отрицательное значение).

Закон сохранения импульса:

$$mv_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

Так как $m_1 = m_2 = m/2$:

$$mv_0 = \frac{m}{2}v_1 + \frac{m}{2}v_2$$

$$2v_0 = v_1 + v_2$$

$$v_2 = 2v_0 - v_1$$

Кинетическая энергия до разрыва:

$$E_{к0} = \frac{1}{2}mv_0^2$$

Кинетическая энергия после разрыва:

$$E_к = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2}v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2}v_2^2 = \frac{m}{4}(v_1^2 + v_2^2)$$

Увеличение кинетической энергии:

$$\Delta E_к = E_к - E_{к0} = \frac{m}{4}(v_1^2 + v_2^2) - \frac{1}{2}mv_0^2$$

Подставим $v_2 = 2v_0 - v_1$:

$$\Delta E_к = \frac{m}{4}\left[v_1^2 + (2v_0 - v_1)^2ight] - \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$\Delta E_к = \frac{m}{4}\left[v_1^2 + 4v_0^2 - 4v_0 v_1 + v_1^2ight] - \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$\Delta E_к = \frac{m}{4}\left[2v_1^2 + 4v_0^2 - 4v_0 v_1ight] - \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$\Delta E_к = \frac{m}{2}v_1^2 + mv_0^2 - mv_0 v_1 - \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$\Delta E_к = \frac{m}{2}v_1^2 - mv_0 v_1 + \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$\Delta E_к = \frac{m}{2}(v_1^2 - 2v_0 v_1 + v_0^2)$$

$$\Delta E_к = \frac{m}{2}(v_1 - v_0)^2$$

Отсюда:

$$(v_1 - v_0)^2 = \frac{2\Delta E_к}{m}$$

$$v_1 - v_0 = \sqrt{\frac{2\Delta E_к}{m}}$$

$$v_1 = v_0 + \sqrt{\frac{2\Delta E_к}{m}}$$

Подставим числовые значения:

$$v_1 = 400 + \sqrt{\frac{2 \cdot 5 \cdot 10^5}{4}}$$

$$v_1 = 400 + \sqrt{\frac{10^6}{4}}$$

$$v_1 = 400 + \sqrt{2{,}5 \cdot 10^5}$$

$$v_1 = 400 + 500 = 900 	ext{ м/с}$$

Проверка размерности: $\sqrt{\frac{	ext{Дж}}{	ext{кг}}} = \sqrt{\frac{	ext{кг} \cdot 	ext{м}^2/	ext{с}^2}{	ext{кг}}} = \sqrt{	ext{м}^2/	ext{с}^2} = 	ext{м/с}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике