Question

Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой $2{,}5$ дптр так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы. Вершина прямого угла $C$ находится дальше от центра линзы, чем вершина острого угла $A$ . Расстояние от центра линзы до точки $A$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC = 4$ см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/DeoG7XckVB63Vl6lIGkxtFafZSyt2i37PFDy9tYr.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: оптическая сила $D = 2{,}5$ дптр, $AC = 4$ см, расстояние от линзы до точки $A$ равно $2F$.

Идея решения: найти фокусное расстояние, определить положения изображений вершин треугольника с помощью формулы тонкой линзы, установить, что изображение также является равнобедренным прямоугольным треугольником, и вычислить его площадь.

**Фокусное расстояние линзы:**

$$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4 	ext{ м} = 40 	ext{ см}$$

**Изображение точки $A$:**

Точка $A$ находится на главной оптической оси на расстоянии $d_A = 2F$ от линзы. По формуле тонкой линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_A} + \frac{1}{f_A}$$

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{2F} + \frac{1}{f_A} \quad \Rightarrow \quad f_A = \frac{2F \cdot F}{2F - F} = 2F$$

Изображение $A'$ находится на расстоянии $2F$ от линзы (на оси).

**Изображение точки $C$:**

Точка $C$ лежит на оси на расстоянии $d_C = 2F + AC = 2F + a$ от линзы (где $a = AC = 4$ см). По формуле линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{2F + a} + \frac{1}{f_C}$$

$$f_C = \frac{F(2F + a)}{2F + a - F} = \frac{F(2F + a)}{F + a}$$

Длина изображения катета:

$$A'C' = f_C - f_A = \frac{F(2F + a)}{F + a} - 2F = \frac{F(2F + a) - 2F(F + a)}{F + a} = \frac{aF}{F + a}$$

**Изображение точки $B$:**

Точка $B$ находится на расстоянии $d_B = 2F$ от линзы (равноудалена с $A$) и на расстоянии $a$ от оси. Луч из $B$, параллельный оси, преломляется через фокус. По подобию треугольников в системе предмета и изображения:

$$\frac{a}{B'C'} = \frac{F}{f_C - F}$$

$$B'C' = \frac{a(f_C - F)}{F} = \frac{a \cdot \frac{F(2F + a)}{F + a} - aF}{F} = \frac{a(F + a) - a(F + a)}{F + a} \cdot \frac{F}{F} = \frac{aF}{F + a}$$

Таким образом, $B'C' = A'C'$, и изображение также является равнобедренным прямоугольным треугольником.

**Площадь изображения:**

$$S = \frac{1}{2}(A'C')^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{aF}{F + a}ight)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{4 \cdot 40}{40 + 4}ight)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{160}{44}ight)^2$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{25600}{1936} = \frac{12800}{1936} \approx 6{,}6 	ext{ см}^2$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/zHlVAkc5gQ7thDTzcDLTO2RGLFumCwFHz0Ch7Eit.jpg)

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике