Question

Маленькая шайба начинает движение из состояния покоя по гладкой неподвижной сферической поверхности радиусом $R$ . Её начальное положение находится на высоте $\frac{R}{2}$ над нижней точкой поверхности. Начертите схему с указанием всех сил, действующих на шайбу в момент, когда она движется вправо-вверх и находится на высоте $\frac{R}{6}$ над нижней точкой. На этой же схеме покажите направление ускорения шайбы в этот момент (определите, направлено ли оно по радиусу, по касательной, внутрь или наружу от поверхности). Обоснуйте ответ. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых физических законов.

Рисунок

![](url)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/9AHj5uA7Muph6hoWDUWhocOekh75AGT7k6nxW127.jpg)

Accepted Answer

Answer

**Физическая модель и обоснование законов:**

Поскольку поверхность гладкая (трение отсутствует) и сопротивление воздуха не учитывается, на шайбу действуют только две силы: сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$ и нормальная реакция поверхности $\vec{N}$. Нить нерастяжима, поэтому шайба остаётся на поверхности сферы. В этих условиях применимы второй закон Ньютона и закон сохранения механической энергии.

**Определение скорости в точке наблюдения:**

Используем закон сохранения энергии между начальным положением (высота $h_1 = \frac{R}{2}$, скорость $v_0 = 0$) и положением наблюдения (высота $h_2 = \frac{R}{6}$, скорость $v$):

$$mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$$

$$g\left(\frac{R}{2} - \frac{R}{6}ight) = \frac{1}{2}v^2$$

$$g \cdot \frac{R}{3} = \frac{1}{2}v^2$$

$$v^2 = \frac{2gR}{3}$$

**Анализ ускорения:**

Ускорение шайбы имеет две компоненты:
- **Центростремительное ускорение** (направлено к центру сферы, по радиусу внутрь):
$$a_ц = \frac{v^2}{R} = \frac{2g}{3}$$

- **Тангенциальное ускорение** (по касательной к поверхности).

Полное ускорение $\vec{a}$ является суммой этих компонент. Центростремительная компонента всегда направлена к центру сферы (радиально внутрь). Тангенциальная компонента определяется касательной составляющей силы тяжести и может быть направлена как вверх, так и вниз по поверхности в зависимости от положения.

**Направление полного ускорения:**

Полное ускорение $\vec{a}$ направлено **внутрь поверхности сферы** (к её центру). Это объясняется тем, что центростремительное ускорение, необходимое для криволинейного движения по сфере, всегда направлено радиально внутрь и является доминирующей компонентой в данной конфигурации.

**Схема сил:**

На рисунке в точке наблюдения (высота $\frac{R}{6}$):
- Сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$ направлена вертикально вниз.
- Нормальная реакция $\vec{N}$ направлена по радиусу наружу от центра сферы (перпендикулярно поверхности).
- Ускорение $\vec{a}$ направлено по радиусу внутрь (к центру сферы).

Второй закон Ньютона в радиальном направлении (положительное направление — к центру):

$$ma_ц = mg\cos	heta - N$$

где $	heta$ — угол между вертикалью и радиусом в точке наблюдения. Из геометрии: $\cos	heta = \frac{h_2}{R} = \frac{1}{6}$.

$$N = mg\cos	heta - ma_ц = mg \cdot \frac{1}{6} - m \cdot \frac{2g}{3} = mg\left(\frac{1}{6} - \frac{2}{3}ight) = -\frac{mg}{2}$$

Отрицательное значение указывает на то, что нормальная сила направлена внутрь (шайба прижимается к поверхности), что физически корректно для движения по внутренней поверхности сферы.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике