Question

Конденсатор $C_1 = 1$ мкФ заряжен до напряжения $U = 300$ В и включён в последовательную цепь из резистора $R = 300$ Ом, незаряженного конденсатора $C_2 = 2$ мкФ и разомкнутого ключа К (см. рис.). Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания ключа, пока ток в цепи не прекратится?

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $C_1 = 1$ мкФ $= 10^{-6}$ Ф, $C_2 = 2$ мкФ $= 2 \cdot 10^{-6}$ Ф, $U = 300$ В, $R = 300$ Ом.

Идея решения: применить законы сохранения заряда и энергии для определения конечного состояния системы и вычислить энергию, рассеянную на резисторе.

**Начальное состояние.** Конденсатор $C_1$ заряжен, конденсатор $C_2$ не заряжен. Начальный заряд:

$$q_0 = C_1 U$$

**Конечное состояние.** После замыкания ключа ток течёт через резистор, перераспределяя заряд между конденсаторами. Когда ток прекращается, напряжение на резисторе становится нулевым, поэтому оба конденсатора имеют одинаковое напряжение $U_f$. Система ведёт себя как два конденсатора, соединённые параллельно, с общей ёмкостью:

$$C_0 = C_1 + C_2$$

По закону сохранения заряда суммарный заряд остаётся неизменным:

$$q_f = q_0 = C_1 U$$

Напряжение на конденсаторах в конечном состоянии:

$$U_f = \frac{q_f}{C_0} = \frac{C_1 U}{C_1 + C_2}$$

**Энергетический баланс.** Начальная энергия, запасённая в $C_1$:

$$E_0 = \frac{C_1 U^2}{2}$$

Конечная энергия, запасённая в обоих конденсаторах:

$$E_f = \frac{C_0 U_f^2}{2} = \frac{(C_1 + C_2)}{2} \cdot \left(\frac{C_1 U}{C_1 + C_2}ight)^2 = \frac{(C_1 U)^2}{2(C_1 + C_2)}$$

Количество теплоты, выделившееся на резисторе:

$$Q = E_0 - E_f = \frac{C_1 U^2}{2} - \frac{(C_1 U)^2}{2(C_1 + C_2)}$$

$$Q = \frac{C_1 U^2}{2} \left(1 - \frac{C_1}{C_1 + C_2}ight) = \frac{C_1 U^2}{2} \cdot \frac{C_2}{C_1 + C_2}$$

$$Q = \frac{C_1 C_2 U^2}{2(C_1 + C_2)}$$

**Подстановка значений:**

$$Q = \frac{10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \cdot 300^2}{2(10^{-6} + 2 \cdot 10^{-6})}$$

$$Q = \frac{2 \cdot 10^{-12} \cdot 90000}{2 \cdot 3 \cdot 10^{-6}} = \frac{1{,}8 \cdot 10^{-7}}{6 \cdot 10^{-6}} = 0{,}03 	ext{ Дж}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике