Question

Маленький шарик массой $m = 10$ г с зарядом $q = 5$ мКл подвешен к потолку на лёгкой шёлковой нитке и помещён в горизонтальное однородное электростатическое поле. Шарик отпускают с нулевой начальной скоростью из положения, в котором нить вертикальна. В момент, когда нить образует с вертикалью угол $\alpha = 45^{\circ}$, сила натяжения нити составляет $T = 100$ мН. Найти напряжённость электрического поля. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 10$ г $= 0{,}01$ кг, $q = 5$ мКл $= 5 \cdot 10^{-3}$ Кл, $\alpha = 45^{\circ}$, $T = 100$ мН $= 0{,}1$ Н, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить второй закон Ньютона в проекции на направление нити (центростремительное ускорение) и теорему о кинетической энергии для связи скорости с параметрами поля.

На шарик действуют три силы: вес $m\vec{g}$ (вертикально вниз), электрическая сила $\vec{F}_э = q\vec{E}$ (горизонтально) и натяжение нити $\vec{T}$ (вдоль нити).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление нити (ось, направленная к точке подвеса):

$$ma_ц = T - mg\cos\alpha - qE\sin\alpha$$

где $a_ц = \dfrac{v^2}{l}$ — центростремительное ускорение, $l$ — длина нити.

Следовательно:

$$\frac{mv^2}{l} = T - mg\cos\alpha - qE\sin\alpha. \quad (1)$$

Применим теорему о кинетической энергии. Работа натяжения равна нулю (перпендикулярна скорости). Работа силы тяжести и электрической силы при перемещении из начального положения (нить вертикальна) в положение под углом $\alpha$:

$$A = -mg \cdot h + qE \cdot b$$

где $h = l(1 - \cos\alpha)$ — вертикальное смещение вверх, $b = l\sin\alpha$ — горизонтальное смещение в направлении поля.

По теореме о кинетической энергии:

$$\frac{mv^2}{2} = -mgl(1 - \cos\alpha) + qEl\sin\alpha$$

Отсюда:

$$v^2 = \frac{2l}{m}\left[qE\sin\alpha - mg(1 - \cos\alpha)ight]. \quad (2)$$

Подставим (2) в (1):

$$2\left[qE\sin\alpha - mg(1 - \cos\alpha)ight] = T - mg\cos\alpha - qE\sin\alpha$$

Раскроем скобки:

$$2qE\sin\alpha - 2mg + 2mg\cos\alpha = T - mg\cos\alpha - qE\sin\alpha$$

Перенесём все члены с $E$ в левую часть:

$$3qE\sin\alpha = T + 2mg - 2mg\cos\alpha - mg\cos\alpha$$

$$3qE\sin\alpha = T + 2mg - 3mg\cos\alpha$$

Отсюда:

$$E = \frac{T + mg(2 - 3\cos\alpha)}{3q\sin\alpha}$$

Подставим численные значения. При $\alpha = 45^{\circ}$: $\sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, $\cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$.

$$E = \frac{0{,}1 + 0{,}01 \cdot 10 \cdot (2 - 3 \cdot 0{,}707)}{3 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}707}$$

$$E = \frac{0{,}1 + 0{,}1 \cdot (2 - 2{,}121)}{0{,}01061} = \frac{0{,}1 - 0{,}01221}{0{,}01061} = \frac{0{,}08779}{0{,}01061} \approx 8{,}3 	ext{ В/м}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике