Question

Пружинное ружьё наклонено под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту. Энергия сжатой пружины составляет $E_п = 0{,}41$ Дж. При выстреле шарик массой $m = 50$ г проходит по стволу ружья расстояние $b$ , вылетает и падает на расстоянии $L = 1$ м от дула ружья в точку М, находящуюся с ним на одной высоте. Найдите расстояние $b$ . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![](рисунок с наклонным ружьём, стволом длины b, траекторией шарика и точкой М на расстоянии L)

Рисунок

![](рисунок с наклонным ружьём, стволом длины b, траекторией шарика и точкой М на расстоянии L)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/Efn4leuZCas4ZrU8uDZtUGj42VKI8p7Xpi5GhbrA.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $\alpha = 30^{\circ}$, $E_п = 0{,}41$ Дж, $m = 50$ г $= 0{,}05$ кг, $L = 1$ м, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить закон сохранения энергии для определения скорости вылета из ствола, затем использовать уравнения кинематики для параболического движения, учитывая, что шарик возвращается на исходную высоту.

**Обоснование физической модели:**
- Пренебрегаем трением в стволе, поэтому вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика.
- Сопротивление воздуха не учитываем, следовательно, движение после вылета — классическое параболическое движение под действием силы тяжести.
- Ствол считаем жёстким направляющим, обеспечивающим начальную скорость вдоль оси ствола.

**Шаг 1. Скорость вылета из ствола.**

По закону сохранения энергии вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:

$$E_п = \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$v_0 = \sqrt{\frac{2E_п}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}41}{0{,}05}} = \sqrt{16{,}4} \approx 4{,}05 	ext{ м/с}$$

**Шаг 2. Компоненты начальной скорости.**

Скорость направлена вдоль ствола под углом $\alpha$ к горизонту:

$$v_{0x} = v_0 \cos\alpha = 4{,}05 \cdot \cos 30^{\circ} = 4{,}05 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3{,}51 	ext{ м/с}$$

$$v_{0y} = v_0 \sin\alpha = 4{,}05 \cdot \sin 30^{\circ} = 4{,}05 \cdot 0{,}5 = 2{,}025 	ext{ м/с}$$

**Шаг 3. Условие возврата на исходную высоту.**

Поскольку шарик падает в точку М, находящуюся на одной высоте с дулом, вертикальное смещение равно нулю. Время полёта определяется из условия:

$$y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$$

$$t(v_{0y} - \frac{1}{2}gt) = 0$$

Нетривиальное решение:

$$t = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2 \cdot 2{,}025}{10} = 0{,}405 	ext{ с}$$

**Шаг 4. Горизонтальное расстояние.**

Горизонтальное расстояние, пройденное шариком:

$$L = v_{0x} \cdot t = 3{,}51 \cdot 0{,}405 \approx 1{,}42 	ext{ м}$$

Однако по условию $L = 1$ м. Это означает, что начальная скорость должна быть меньше. Пересчитаем, используя точное соотношение.

**Шаг 5. Уточнённый расчёт.**

Из условия $L = v_0 \cos\alpha \cdot \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$:

$$L = \frac{2v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$$

$$v_0^2 = \frac{Lg}{\sin 2\alpha} = \frac{1 \cdot 10}{\sin 60^{\circ}} = \frac{10}{0{,}866} \approx 11{,}55 	ext{ м}^2/	ext{с}^2$$

$$v_0 \approx 3{,}4 	ext{ м/с}$$

**Шаг 6. Расстояние в стволе.**

Применяя закон сохранения энергии для движения в стволе (пружина передаёт энергию шарику):

$$E_п = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgb\sin\alpha$$

$$0{,}41 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}05 \cdot 11{,}55 + 0{,}05 \cdot 10 \cdot b \cdot 0{,}5$$

$$0{,}41 = 0{,}289 + 0{,}25b$$

$$b = \frac{0{,}41 - 0{,}289}{0{,}25} = \frac{0{,}121}{0{,}25} = 0{,}484 	ext{ м}$$

Проверка размерности: $\frac{	ext{Дж}}{	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2} = 	ext{м}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике