Question

С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс 1-2-3-4-1, $pV$-диаграмма которого представлена на рисунке.

![](https://imgur.com/placeholder)

Максимальная температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет 400 К. Масса газа постоянна. На основании анализа этого циклического процесса выберите все верные утверждения.

1) Минимальная температура в циклическом процессе равна 200 К.
2) Количество теплоты, переданное газу при изохорном нагревании, равно 900 Дж.
3) В процессе 2-3 газ получает положительное количество теплоты.
4) Работа, совершённая над газом при его изобарном сжатии, равна 100 Дж.
5) Работа газа за цикл равна 200 Дж.

Accepted Answer

25

Answer

Идея решения: определить параметры в каждой вершине цикла, вычислить температуры, затем проверить каждое утверждение через законы термодинамики для одноатомного газа.

**Определение параметров вершин:**

По диаграмме:
- Точка 1: $p_1 = 200$ кПа, $V_1 = 6$ л
- Точка 2: $p_2 = 200$ кПа, $V_2 = 8$ л
- Точка 3: $p_3 = 100$ кПа, $V_3 = 8$ л
- Точка 4: $p_4 = 100$ кПа, $V_4 = 6$ л

Переведём в СИ: $V_1 = 6 \cdot 10^{-3}$ м³, $V_2 = 8 \cdot 10^{-3}$ м³, $V_3 = 8 \cdot 10^{-3}$ м³, $V_4 = 6 \cdot 10^{-3}$ м³; $p_1 = 2 \cdot 10^5$ Па, $p_2 = 2 \cdot 10^5$ Па, $p_3 = 10^5$ Па, $p_4 = 10^5$ Па.

**Вычисление температур:**

Используя уравнение состояния $pV = 
u RT$:

$$T_1 = \frac{p_1 V_1}{
u R} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{
u R} = \frac{1200}{
u R}$$

$$T_2 = \frac{p_2 V_2}{
u R} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 8 \cdot 10^{-3}}{
u R} = \frac{1600}{
u R}$$

$$T_3 = \frac{p_3 V_3}{
u R} = \frac{10^5 \cdot 8 \cdot 10^{-3}}{
u R} = \frac{800}{
u R}$$

$$T_4 = \frac{p_4 V_4}{
u R} = \frac{10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{
u R} = \frac{600}{
u R}$$

Максимальная температура — в точке 2: $T_{\max} = T_2 = 400$ К (по условию).

Отсюда: $\frac{1600}{
u R} = 400$, следовательно, $
u R = 4$ Дж/К.

Тогда:
- $T_1 = \frac{1200}{4} = 300$ К
- $T_2 = 400$ К
- $T_3 = \frac{800}{4} = 200$ К
- $T_4 = \frac{600}{4} = 150$ К

**1) Минимальная температура равна 200 К.**

Минимальная температура — в точке 4: $T_4 = 150$ К. **Утверждение неверно.**

**2) Количество теплоты при изохорном нагревании равно 900 Дж.**

Процесс 4-1 — изохорный (объём постоянен). Для одноатомного газа $C_V = \frac{3}{2}R$.

$$Q_{4-1} = 
u C_V (T_1 - T_4) = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot (300 - 150) = 6 \cdot 150 = 900 	ext{ Дж}$$

**Утверждение верно.**

**3) В процессе 2-3 газ получает положительное количество теплоты.**

Процесс 2-3 — изохорный (объём постоянен). Температура снижается: $T_3 = 200$ К $< T_2 = 400$ К.

$$Q_{2-3} = 
u C_V (T_3 - T_2) = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot (200 - 400) = 6 \cdot (-200) = -1200 	ext{ Дж}$$

Теплота отрицательна (газ отдаёт тепло). **Утверждение неверно.**

**4) Работа, совершённая над газом при изобарном сжатии, равна 100 Дж.**

Процесс 3-4 — изобарный (давление постоянно). Объём уменьшается (сжатие)$$A_{3-4} = p_3 (V_4 - V_3) = 10^5 \cdot (6 - 8) \cdot 10^{-3} = 10^5 \cdot (-2) \cdot 10^{-3} = -200 	ext{ Дж}$$

Работа газа отрицательна (газ сжимается). Работа, совершённая **над** газом: $A_{	ext{над}} = -A_{3-4} = 200$ Дж. **Утверждение неверно.**

**5) Работа газа за цикл равна 200 Дж.**

Работа газа за цикл равна площади, ограниченной циклом на диаграмме $pV$:

$$A_{	ext{цикл}} = (p_1 - p_3)(V_2 - V_1) = (2 \cdot 10^5 - 10^5) \cdot (8 - 6) \cdot 10^{-3}$$

$$A_{	ext{цикл}} = 10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 200 	ext{ Дж}$$

**Утверждение верно.**

Задание №9Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике