Question

По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 30^{\circ}$ с горизонтом, скользит из состояния покоя брусок массой $M = 250$ г. В момент, когда брусок прошёл расстояние $x = 3{,}6$ м вдоль плоскости, в него попала и застряла летящая навстречу пуля массой $m = 5$ г. После попадания пули брусок поднялся вверх по наклонной плоскости на расстояние $S = 2{,}5$ м от места удара. Найдите скорость пули перед попаданием в брусок. Трение бруска о плоскость не учитывать. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Accepted Answer

Answer

Дано: $\alpha = 30^{\circ}$, $M = 0{,}25$ кг, $m = 0{,}005$ кг, $x = 3{,}6$ м, $S = 2{,}5$ м, $g = 10$ м/с².

Идея решения: найти скорость бруска перед ударом из кинематики, затем применить закон сохранения импульса для неупругого столкновения, и наконец использовать закон сохранения энергии для движения системы после удара.

**Обоснование модели:**
- Наклонная плоскость гладкая (трение отсутствует), поэтому применимы законы механики без диссипативных сил.
- Удар пули о брусок — неупругое столкновение (пуля застревает), происходит за время, много меньшее времени движения по плоскости. Импульс силы тяжести за время удара пренебрежимо мал, поэтому применим закон сохранения импульса в направлении вдоль плоскости.
- После удара система движется по гладкой плоскости под действием компоненты силы тяжести, поэтому применим закон сохранения механической энергии.

**Шаг 1. Скорость бруска перед ударом.**

Брусок скользит вниз без трения. Ускорение вдоль плоскости:

$$a = g\sin\alpha = 10 \cdot \sin 30^{\circ} = 10 \cdot 0{,}5 = 5 	ext{ м/с}^2$$

Скорость после прохождения расстояния $x$:

$$v_1^2 = 2ax$$

$$v_1 = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 3{,}6} = \sqrt{36} = 6 	ext{ м/с}$$

Брусок движется вниз по плоскости.

**Шаг 2. Закон сохранения импульса при ударе.**

Направим ось вдоль плоскости: положительное направление — вверх. Тогда:
- импульс бруска перед ударом: $p_1 = -Mv_1$ (движется вниз);
- импульс пули перед ударом: $p_2 = mv_2$ (движется вверх, навстречу);
- импульс системы после удара: $p = (M + m)v_0$ (движется вверх).

Закон сохранения импульса:

$$mv_2 - Mv_1 = (M + m)v_0$$

$$v_0 = \frac{mv_2 - Mv_1}{M + m}$$

**Шаг 3. Закон сохранения энергии после удара.**

После удара система поднимается на расстояние $S$ вверх по плоскости. На этом пути сила тяжести совершает отрицательную работу. Кинетическая энергия в момент удара переходит в потенциальную:

$$\frac{1}{2}(M + m)v_0^2 = (M + m)gS\sin\alpha$$

$$v_0^2 = 2gS\sin\alpha$$

$$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5 	ext{ м/с}$$

**Шаг 4. Нахождение скорости пули.**

Из уравнения импульса:

$$v_2 = \frac{(M + m)v_0 + Mv_1}{m}$$

$$v_2 = \frac{(0{,}25 + 0{,}005) \cdot 5 + 0{,}25 \cdot 6}{0{,}005}$$

$$v_2 = \frac{0{,}255 \cdot 5 + 1{,}5}{0{,}005} = \frac{1{,}275 + 1{,}5}{0{,}005} = \frac{2{,}775}{0{,}005}$$

$$v_2 = 555 	ext{ м/с}$$

**Проверка размерности:** $\frac{	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}}{	ext{кг}} = 	ext{м/с}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике