Question

Идеальный одноатомный газ в количестве $
u = 0{,}09$ моль находится в равновесии в вертикальном гладком цилиндре под массивным поршнем площадью $S = 25$ см². Внешнее атмосферное давление $p_0 = 10^5$ Па. При охлаждении газа поршень опустился на $\Delta h = 4$ см, а температура газа снизилась на $\Delta T = 16$ К. Найдите массу поршня. Ответ выразите в кг.

Accepted Answer

5

Answer

Дано: $
u = 0{,}09$ моль, $S = 25 \cdot 10^{-4}$ м², $p_0 = 10^5$ Па, $\Delta h = 0{,}04$ м, $\Delta T = 16$ К.

Идея решения: применить условие равновесия поршня для определения давления газа, затем использовать уравнение состояния идеального газа в начальном и конечном состояниях.

На поршень действуют давление газа $p$, атмосферное давление $p_0$ и вес поршня. В равновесии:

$$pS = p_0 S + mg$$

откуда давление газа:

$$p = p_0 + \frac{mg}{S}$$

Поскольку поршень гладкий (без трения) и движется квазистатически, давление газа остаётся постоянным на протяжении процесса охлаждения (изобарный процесс).

**Применение уравнения состояния.**

Для начального состояния:

$$p V_1 = 
u R T_1$$

Для конечного состояния:

$$p V_2 = 
u R T_2$$

где $T_2 = T_1 - \Delta T$.

Объёмы связаны с высотой газа в цилиндре:

$$V_1 = S h_1, \quad V_2 = S h_2 = S(h_1 - \Delta h)$$

Разделив уравнения состояния:

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{T_1}{T_1 - \Delta T}$$

$$\frac{h_1}{h_1 - \Delta h} = \frac{T_1}{T_1 - \Delta T}$$

Перекрёстным умножением:

$$h_1(T_1 - \Delta T) = T_1(h_1 - \Delta h)$$

$$h_1 T_1 - h_1 \Delta T = T_1 h_1 - T_1 \Delta h$$

$$T_1 \Delta h = h_1 \Delta T$$

$$h_1 = \frac{T_1 \Delta h}{\Delta T}$$

**Определение начальной температуры.**

Из первого уравнения состояния:

$$T_1 = \frac{p V_1}{
u R} = \frac{p S h_1}{
u R}$$

Подставив выражение для $h_1$:

$$T_1 = \frac{p S}{
u R} \cdot \frac{T_1 \Delta h}{\Delta T}$$

$$1 = \frac{p S \Delta h}{
u R \Delta T}$$

$$p = \frac{
u R \Delta T}{S \Delta h}$$

**Вычисление массы поршня.**

Из условия равновесия:

$$mg = (p - p_0) S = \left(\frac{
u R \Delta T}{S \Delta h} - p_0ight) S = 
u R \Delta T \cdot \frac{S}{\Delta h} - p_0 S$$

$$m = \frac{
u R \Delta T}{g \Delta h} - \frac{p_0 S}{g}$$

Подставляя значения ($R = 8{,}314$ Дж/(моль·К), $g = 10$ м/с²):

$$m = \frac{0{,}09 \cdot 8{,}314 \cdot 16}{10 \cdot 0{,}04} - \frac{10^5 \cdot 25 \cdot 10^{-4}}{10}$$

$$m = \frac{11{,}97}{0{,}4} - \frac{250}{10} = 29{,}925 - 25 = 4{,}925 	ext{ кг}$$

Округляя до целого числа: $m \approx 5$ кг.

Задание №23Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике