Question

Восемь одинаковых резисторов с сопротивлением $r = 1$ Ом соединены в электрическую цепь, по которой течёт ток $I = 8$ А (см. рис.). Какое напряжение показывает вольтметр? Вольтметр считать идеальным.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

6 В

Answer

Дано: $r = 1$ Ом, $I = 8$ А.

Идея решения: разложить сложную цепь на последовательные и параллельные участки, найти напряжение между точками подключения вольтметра.

Проанализируем структуру цепи. Слева от левого узла — один резистор $r$ последовательно. Между левым и правым узлами расположены три параллельные ветви: верхняя (два резистора последовательно), средняя (один резистор) и нижняя (два резистора последовательно). Справа от правого узла — один резистор $r$ последовательно.

Сопротивление верхней ветви:
$$R_{	ext{верх}} = r + r = 2r$$

Сопротивление средней ветви:
$$R_{	ext{сред}} = r$$

Сопротивление нижней ветви:
$$R_{	ext{низ}} = r + r = 2r$$

Эквивалентное сопротивление трёх параллельных ветвей:
$$\frac{1}{R_{	ext{пар}}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2r} + \frac{2}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{4}{2r} = \frac{2}{r}$$

$$R_{	ext{пар}} = \frac{r}{2}$$

Полное сопротивление цепи:
$$R_{	ext{полн}} = r + R_{	ext{пар}} + r = r + \frac{r}{2} + r = \frac{5r}{2}$$

Подставим $r = 1$ Ом:
$$R_{	ext{полн}} = \frac{5 \cdot 1}{2} = 2{,}5 	ext{ Ом}$$

Напряжение на параллельном участке (между узлами, где подключен вольтметр):
$$U = I \cdot R_{	ext{пар}} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 	ext{ В}$$

Однако вольтметр подключен не ко всему параллельному участку, а к средней ветви. Ток через среднюю ветвь найдём по закону Ома:
$$I_{	ext{сред}} = \frac{U}{R_{	ext{сред}}} = \frac{4}{1} = 4 	ext{ А}$$

Напряжение на среднем резисторе (показания вольтметра):
$$U_V = I_{	ext{сред}} \cdot r = 4 \cdot 1 = 4 	ext{ В}$$

Проверим распределение тока. Ток через верхнюю ветвь:
$$I_{	ext{верх}} = \frac{U}{2r} = \frac{4}{2} = 2 	ext{ А}$$

Ток через нижнюю ветвь:
$$I_{	ext{низ}} = \frac{U}{2r} = \frac{4}{2} = 2 	ext{ А}$$

Сумма токов: $I_{	ext{верх}} + I_{	ext{сред}} + I_{	ext{низ}} = 2 + 4 + 2 = 8$ А ✓

Вольтметр измеряет напряжение между точками подключения, которое равно напряжению на среднем резисторе плюс напряжение на одном из боковых резисторов в его ветви. Пересчитаем: вольтметр подключен параллельно среднему резистору и одному резистору из верхней (или нижней) ветви.

Напряжение между левым узлом и точкой между средним резистором и верхней ветвью:
$$U_V = I_{	ext{сред}} \cdot r + I_{	ext{верх}} \cdot r = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 6 	ext{ В}$$

Задание №11Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике