Question

Квадратная проволочная рамка со стороной $l = 10$ см находится в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$ . На графике показана зависимость проекции вектора $\vec{B}$ на перпендикуляр к плоскости рамки от времени. Какое количество теплоты выделится в рамке за время $t = 10$ с, если сопротивление рамки $R = 0{,}2$ Ом?

![](https://imgur.com/placeholder_graph)

Accepted Answer

Answer

Дано: $l = 10$ см $= 0{,}1$ м, $R = 0{,}2$ Ом, $t = 10$ с.

Идея решения: вычислить магнитный поток через рамку на каждом временном интервале, найти индуцированную ЭДС по закону Фарадея, определить мощность рассеяния и проинтегрировать по времени.

Магнитный поток через рамку:

$$\Phi = B_n \cdot S = B_n \cdot l^2$$

где $B_n$ — проекция индукции на нормаль к плоскости рамки, $S = l^2$ — площадь рамки.

По закону электромагнитной индукции, индуцированная ЭДС:

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -l^2 \frac{dB_n}{dt}$$

Индуцированный ток:

$$I = \frac{|\mathcal{E}|}{R} = \frac{l^2}{R}\left|\frac{dB_n}{dt}ight|$$

Мощность, рассеиваемая в рамке:

$$P = I^2 R = \frac{l^4}{R}\left(\frac{dB_n}{dt}ight)^2$$

Теплота, выделившаяся за время $t$:

$$Q = \int_0^t P \, dt = \frac{l^4}{R} \int_0^t \left(\frac{dB_n}{dt}ight)^2 dt$$

Из графика выделяем три интервала:

**Интервал 1** ($0 \leq t \leq 4$ с): $B_n$ убывает от $0{,}6$ Тл до $-0{,}4$ Тл.

$$\frac{dB_n}{dt} = \frac{-0{,}4 - 0{,}6}{4 - 0} = \frac{-1}{4} = -0{,}25 	ext{ Тл/с}$$

$$Q_1 = \frac{l^4}{R} \cdot (0{,}25)^2 \cdot 4 = \frac{(0{,}1)^4}{0{,}2} \cdot 0{,}0625 \cdot 4 = \frac{10^{-4}}{0{,}2} \cdot 0{,}25 = 5 \cdot 10^{-4} \cdot 0{,}25 = 1{,}25 \cdot 10^{-4} 	ext{ Дж}$$

**Интервал 2** ($4 \leq t \leq 8$ с): $B_n$ возрастает от $-0{,}4$ Тл до $0$ Тл.

$$\frac{dB_n}{dt} = \frac{0 - (-0{,}4)}{8 - 4} = \frac{0{,}4}{4} = 0{,}1 	ext{ Тл/с}$$

$$Q_2 = \frac{l^4}{R} \cdot (0{,}1)^2 \cdot 4 = \frac{10^{-4}}{0{,}2} \cdot 0{,}01 \cdot 4 = 5 \cdot 10^{-4} \cdot 0{,}04 = 2 \cdot 10^{-5} 	ext{ Дж}$$

**Интервал 3** ($8 \leq t \leq 10$ с): $B_n$ возрастает от $0$ Тл до $0{,}2$ Тл.

$$\frac{dB_n}{dt} = \frac{0{,}2 - 0}{10 - 8} = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1 	ext{ Тл/с}$$

$$Q_3 = \frac{l^4}{R} \cdot (0{,}1)^2 \cdot 2 = \frac{10^{-4}}{0{,}2} \cdot 0{,}01 \cdot 2 = 5 \cdot 10^{-4} \cdot 0{,}02 = 1 \cdot 10^{-5} 	ext{ Дж}$$

Полная теплота:

$$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 1{,}25 \cdot 10^{-4} + 2 \cdot 10^{-5} + 1 \cdot 10^{-5} = 1{,}25 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-5} = 1{,}55 \cdot 10^{-4} 	ext{ Дж} = 0{,}155 	ext{ мДж}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике