Question

В прямоугольном параллелепипеде $	ext{ABCDA}_1	ext{B}_1	ext{C}_1	ext{D}_1$ рёбра $	ext{BC}$, $	ext{BA}$ и диагональ $	ext{BC}_1$ боковой грани равны соответственно 2, 3 и $2\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $	ext{ABCDA}_1	ext{B}_1	ext{C}_1	ext{D}_1$.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/s55h0KbeNc9YQFPbuFxpnHEcvWtfKgAocos3K1Lj.png)

Accepted Answer

24

Answer

Идея решения: найти высоту параллелепипеда через теорему Пифагора в боковой грани, затем вычислить объём как произведение площади основания на высоту.

В боковой грани $	ext{BCC}_1	ext{B}_1$ диагональ $	ext{BC}_1$ связана с рёбрами $	ext{BC}$ и $	ext{CC}_1$ прямоугольным треугольником $	ext{BCC}_1$. По теореме Пифагора:

$$	ext{BC}_1^2 = 	ext{BC}^2 + 	ext{CC}_1^2$$

Подставим известные значения:

$$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 + 	ext{CC}_1^2$$

$$20 = 4 + 	ext{CC}_1^2$$

$$	ext{CC}_1^2 = 16$$

$$	ext{CC}_1 = 4$$

Площадь основания прямоугольника $	ext{ABCD}$:

$$S_{	ext{осн}} = 	ext{BC} \cdot 	ext{BA} = 2 \cdot 3 = 6$$

Объём параллелепипеда:

$$V = S_{	ext{осн}} \cdot 	ext{CC}_1 = 6 \cdot 4 = 24$$

Задание №13СтереометрияЕГЭ по математике