Question

Найдите $26\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)$, если $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ и $\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)$.

Accepted Answer

-10

Answer

Идея решения: применить формулу косинуса суммы углов, предварительно найдя $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества с учётом четверти.

Поскольку $\alpha$ находится в четвёртой четверти, синус отрицателен:

$$\sin\alpha = -\sqrt{1-\cos^2\alpha} = -\sqrt{1-\frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$$

Применим формулу косинуса суммы:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\frac{3\pi}{2}\cdot\cos\alpha - \sin\frac{3\pi}{2}\cdot\sin\alpha$$

Подставим значения $\cos\frac{3\pi}{2}=0$ и $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = 0 \cdot \frac{12}{13} - (-1) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{5}{13}$$

Вычислим искомое выражение:

$$26\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = 26 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -10$$

Задание №16Числа и выраженияЕГЭ по математике