Question

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
2) за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Accepted Answer

10

Answer

Идея решения: поскольку золотых монет в итоге нет, все полученные золотые монеты были потрачены; это позволяет связать количество операций каждого типа.

Так как золотые монеты не остались, все золотые, полученные во второй операции, должны были быть обменены в первой операции. Следовательно, вторая операция проводилась чётное число раз. Обозначим количество вторых операций как $2n$.

При $2n$ применениях второй операции:
- потрачено серебряных: $5 \cdot 2n = 10n$
- получено золотых: $3 \cdot 2n = 6n$
- получено медных: $2n$

Все $6n$ золотых монет обмениваются в первой операции. Количество первых операций:

$$\frac{6n}{2} = 3n$$

При $3n$ применениях первой операции:
- потрачено золотых: $2 \cdot 3n = 6n$ ✓
- получено серебряных: $3 \cdot 3n = 9n$
- получено медных: $3n$

Итоговый баланс серебряных монет:
$$-10n + 9n = -n$$

Общее количество полученных медных монет:
$$2n + 3n = 5n$$

По условию получено 50 медных монет:
$$5n = 50$$
$$n = 10$$

Количество серебряных монет уменьшилось на $n = 10$.

Задание №20Текстовые задачи и числаЕГЭ по математике