Question

В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 – кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях:

1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.
2) Найдётся хотя бы двое учеников из этого класса, посещающих оба кружка.
3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.
4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Accepted Answer

24

Answer

Идея решения: применить принцип включения-исключения для определения количества учеников, посещающих оба кружка, и проверить каждое утверждение.

Обозначим через $x$ количество учеников, посещающих оба кружка. По принципу включения-исключения:

$$x = 13 + 10 - (20 - y)$$

где $y$ — количество учеников, не посещающих ни один кружок. Так как $y \geq 0$, то:

$$x \geq 13 + 10 - 20 = 3$$

Также $x \leq 10$ (не может быть больше, чем посещают математику).

**Утверждение 1:** Каждый ученик посещает оба кружка. Это означало бы $x = 20$, что противоречит $x \leq 10$. Утверждение неверно.

**Утверждение 2:** Найдётся хотя бы двое учеников, посещающих оба кружка. Поскольку $x \geq 3$, это утверждение верно.

**Утверждение 3:** Если ученик ходит на историю, то он ходит на математику. Это означало бы, что все 13 историков посещают математику, то есть $x = 13$. Но посещают математику только 10 человек, поэтому это невозможно. Утверждение неверно.

**Утверждение 4:** Не найдётся 11 человек, посещающих оба кружка. Поскольку $x \leq 10 < 11$, это утверждение верно.

Задание №18Уравнения и неравенстваЕГЭ по математике