Question

Однородный шар диаметром 4 см весит 256 г. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/xhnCYLPwjpogbh6FsY0JqgJB6hdZJIqAZiYtrz41.jpg)

Accepted Answer

500

Answer

Идея решения: использовать связь между массой, плотностью и объёмом, а также свойство подобия тел.

Масса тела определяется формулой:

$$m = \rho V$$

где $\rho$ — плотность, $V$ — объём.

Объём шара вычисляется по формуле:

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Поскольку оба шара изготовлены из одного материала, их плотности одинаковы. Следовательно, массы пропорциональны объёмам.

Шары подобны друг другу, поэтому отношение их объёмов равно кубу отношения радиусов:

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$$

Радиусы шаров: $r_1 = 2$ см (диаметр 4 см), $r_2 = 2{,}5$ см (диаметр 5 см).

Найдём отношение масс:

$$\frac{256}{m_2} = \left(\frac{2}{2{,}5}\right)^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}$$

Выразим $m_2$:

$$m_2 = 256 \cdot \frac{125}{64} = 4 \cdot 125 = 500$$

Задание №13СтереометрияЕГЭ по математике